Seja V=\mathbb{R}^{3} e
U=\{(x, y, z) \in V \mid x=y=z\} .
Mostre que U é um subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado dá:
  • V=\mathbb{R}^{3}.
  • U=\{(x,y,z)\in V \mid x=y=z\}.
O que se pede:
  • Mostrar que U é um subespaço vetorial de V.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Um vetor genérico de U tem a forma (x,x,x) para algum x\in\mathbb{R}.
  • Não há outras restrições além de igualdade das três coordenadas.

Passo 2

Definição e estratégia (aula rápida): para provar que um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço, uma forma padrão é verificar três propriedades:
  1. W não é vazio (em prática costuma bastar mostrar que o vetor zero de V pertence a W).
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c\,u\in W.
Se as três propriedades valem, W é subespaço. Vou aplicar exatamente isso a U. (Dica para prova rápida na hora da prova: muitas vezes basta mostrar que 0\in U e que U é fechado por combinações lineares a u + b v; isso é equivalente.)

Passo 3

Verificar que U não é vazio (vetor zero pertence a U).
Mostramos que o vetor zero de \mathbb{R}^3 tem coordenadas iguais:
(0,0,0)\in U,
pois 0=0=0. Logo U\neq\varnothing e contém o vetor zero.

Passo 4

Verificar fechamento por adição.
Tomemos vetores arbitrários u,v\in U. Então existem a,b\in\mathbb{R} tais que
u=(a,a,a),\qquad v=(b,b,b).
Somando:
u+v=(a,a,a)+(b,b,b)=(a+b,a+b,a+b).
Como todas as três coordenadas de u+v são iguais ( a+b), segue que u+v\in U. Portanto U é fechado por adição.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Tomemos u\in U com u=(a,a,a) (para algum a\in\mathbb{R}) e c\in\mathbb{R}. Então
c\,u=c\,(a,a,a)=(c a, c a, c a).
Como as três coordenadas são iguais ( c a), temos c\,u\in U. Logo U é fechado por multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão direta da definição: como U contém o vetor zero, é fechado por adição e é fechado por multiplicação escalar, concluímos que U é um subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^3.
Passo extra (visão alternativa e útil para provas): escrever U como um span.
Todo vetor de U tem a forma (x,x,x)=x(1,1,1) com x\in\mathbb{R}. Assim
U=\{x(1,1,1)\mid x\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
Como um span de vetores é sempre um subespaço, isto também mostra que U é subespaço. Além disso, dessa descrição segue que uma base de U é \{(1,1,1)\} e \dim(U)=1.

Resposta

U é um subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^3.

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