Seja
e
Mostre que
é um subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado dá:
-
. -
.
O que se pede:
- Mostrar que
é um subespaço vetorial de .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Um vetor genérico de
tem a forma para algum . - Não há outras restrições além de igualdade das três coordenadas.
Passo 2
Definição e estratégia (aula rápida): para provar que um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço, uma forma padrão é verificar três propriedades:
-
não é vazio (em prática costuma bastar mostrar que o vetor zero de pertence a ). -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Se as três propriedades valem,
é subespaço. Vou aplicar exatamente isso a
. (Dica para prova rápida na hora da prova: muitas vezes basta mostrar que
e que
é fechado por combinações lineares
; isso é equivalente.)
Passo 3
Verificar que
não é vazio (vetor zero pertence a
).
Mostramos que o vetor zero de
tem coordenadas iguais:
pois
. Logo
e contém o vetor zero.
Passo 4
Verificar fechamento por adição.
Tomemos vetores arbitrários
. Então existem
tais que
Somando:
Como todas as três coordenadas de
são iguais (
), segue que
. Portanto
é fechado por adição.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Tomemos
com
(para algum
) e
. Então
Como as três coordenadas são iguais (
), temos
. Logo
é fechado por multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão direta da definição: como
contém o vetor zero, é fechado por adição e é fechado por multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Passo extra (visão alternativa e útil para provas): escrever
como um span.
Todo vetor de
tem a forma
com
. Assim
Como um span de vetores é sempre um subespaço, isto também mostra que
é subespaço. Além disso, dessa descrição segue que uma base de
é
e
.