Exemplo 3.4: Um tambor cilíndrico, de 3 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos a água cair pela metade vamos determinar a altura h da água dentro do tambor em função do tempo e em quanto tempo o tanque esvazia.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pedido 1: determinar a altura da água dentro do tambor em função do tempo,
. - Pedido 2: determinar em quanto tempo o tanque esvazia totalmente.
Informações dadas:
- O tambor é cilíndrico, altura inicial (cheio)
. - Raio da base do cilindro
. - Após
minutos a água cai pela metade: . - Há um furo no fundo (área do furo desconhecida), por onde a água escoa para fora.
Observações úteis que vamos usar (não resolver ainda):
- Área da seção do tambor (constante):
(em ). - Denotaremos por
a área do furo (em ), desconhecida. - Precisaremos relacionar a velocidade de escoamento com a altura
(lei de Torricelli / Bernoulli) e montar uma equação diferencial para .
Passo 2
Modelo físico e fórmula de Torricelli (explicação didática):
- Ideia física: a água no interior tem superfície livre a uma altura
acima do furo. Pela conservação de energia (Bernoulli) pode-se mostrar que a velocidade de saída da água pelo furo, desprezando perdas, é a mesma que teria um corpo em queda livre de uma altura . Essa fórmula conhecida é a lei de Torricelli:
onde:
-
é a velocidade do jato no furo (em ), -
é a aceleração da gravidade (usaremos ), -
é a altura da coluna de água acima do furo (em ). -
Explicando sem jargão: a água perde energia potencial ao descer; essa energia vira energia cinética do jato. O resultado é
. -
Vazão volumétrica (volume por unidade de tempo) saída pelo furo:
- Volume de água no tambor: como a área da seção do tambor é
, o volume é
- Relação entre variação de volume e vazão: a taxa de variação do volume é a vazão de saída negativa:
- Substituindo
obtemos uma equação diferencial para :
Passo 3
Transformar e resolver a equação diferencial (separável) — explicando cada passo:
- Escrevendo a equação:
- Isolar as variáveis
e (separação de variáveis):
Aqui explico: dividimos ambos os lados por
e por
para ter todos os
num lado e
no outro.
- Integramos ambos os lados (integração indefinida):
- Resultado das integrais: a integral do lado esquerdo é
. Do lado direito sai . Assim:
- Aplicar condição inicial
para achar :
- Portanto:
- Simplificando:
- Quadrando ambos os lados (mantendo atenção ao domínio: essa expressão vale enquanto o segundo membro for não negativo, ou seja até esvaziar):
Essa é a forma geral de
em função da área
do furo desconhecida.
Passo 4
Usar a condição “em 30 minutos a água cai pela metade” para determinar
:
-
Converter
minutos para segundos (unidades consistentes): . -
Condição:
. Tomando raiz quadrada da expressão de :
- Isolando o termo com
, definimos uma constante intermediária :
- Assim
- Calculemos numericamente (usar vírgula como separador decimal):
- Agora voltar a
:
- Calcular
com :
- Logo
- Para ter uma ideia do tamanho do furo, raio equivalente
:
Passo 5
Colocar
encontrado na expressão final de
e escrever
explicitamente:
- Lembrando que
, temos
portanto
válido enquanto o parêntese for não negativo (ou seja, até o tanque esvaziar). Aqui
está em segundos e
em metros. Se preferir tempo em minutos, substituir
por
.
Passo 6
Determinar o tempo até esvaziar totalmente:
- O tanque esvazia quando
, isto é quando , logo
- Com os valores numéricos:
- Converter para minutos/hora:
Resposta
Tempo para esvaziar: