Exemplo 3.4: Um tambor cilíndrico, de 3 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos a água cair pela metade vamos determinar a altura h da água dentro do tambor em função do tempo e em quanto tempo o tanque esvazia.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pedido 1: determinar a altura da água dentro do tambor em função do tempo, h(t).
  • Pedido 2: determinar em quanto tempo o tanque esvazia totalmente.
Informações dadas:
  • O tambor é cilíndrico, altura inicial (cheio) h(0)=3\\ \text{m}.
  • Raio da base do cilindro r=1\\ \text{m}.
  • Após 30 minutos a água cai pela metade: h(30\\ \text{min})=1{,}5\\ \text{m}.
  • Há um furo no fundo (área do furo desconhecida), por onde a água escoa para fora.
Observações úteis que vamos usar (não resolver ainda):
  • Área da seção do tambor (constante): A=\pi r^{2}=\pi (em \text{m}^2).
  • Denotaremos por a a área do furo (em \text{m}^2), desconhecida.
  • Precisaremos relacionar a velocidade de escoamento com a altura h (lei de Torricelli / Bernoulli) e montar uma equação diferencial para h(t).

Passo 2

Modelo físico e fórmula de Torricelli (explicação didática):
  • Ideia física: a água no interior tem superfície livre a uma altura h acima do furo. Pela conservação de energia (Bernoulli) pode-se mostrar que a velocidade de saída da água pelo furo, desprezando perdas, é a mesma que teria um corpo em queda livre de uma altura h. Essa fórmula conhecida é a lei de Torricelli:
v=\sqrt{2 g h},
onde:
  • v é a velocidade do jato no furo (em \text{m}\!/\text{s}),
  • g é a aceleração da gravidade (usaremos g=9{,}8\\ \text{m}\!/\text{s}^2),
  • h é a altura da coluna de água acima do furo (em \text{m}).
  • Explicando sem jargão: a água perde energia potencial ao descer; essa energia vira energia cinética do jato. O resultado é v=\sqrt{2gh}.
  • Vazão volumétrica (volume por unidade de tempo) saída pelo furo:
Q_{\text{out}} = a\,v = a\sqrt{2 g h}.
  • Volume de água no tambor: como a área da seção do tambor é A=\pi r^{2}=\pi, o volume é
V(t)=A\,h(t).
  • Relação entre variação de volume e vazão: a taxa de variação do volume é a vazão de saída negativa:
\frac{dV}{dt} = -Q_{\text{out}} = -a\sqrt{2 g h}.
  • Substituindo V=A h obtemos uma equação diferencial para h(t):
A\frac{dh}{dt} = -a\sqrt{2 g h}.

Passo 3

Transformar e resolver a equação diferencial (separável) — explicando cada passo:
  • Escrevendo a equação:
\pi \frac{dh}{dt} = -a\sqrt{2 g}\,h^{1/2}.
  • Isolar as variáveis h e t (separação de variáveis):
\frac{dh}{h^{1/2}} = -\frac{a}{\pi}\sqrt{2 g}\,dt.
Aqui explico: dividimos ambos os lados por h^{1/2} e por \pi para ter todos os h num lado e t no outro.
  • Integramos ambos os lados (integração indefinida):
\int \frac{dh}{h^{1/2}} = \int -\frac{a}{\pi}\sqrt{2 g}\,dt.
  • Resultado das integrais: a integral do lado esquerdo é 2 h^{1/2}. Do lado direito sai -\dfrac{a}{\pi}\sqrt{2 g}\,t + C. Assim:
2 h^{1/2} = -\frac{a}{\pi}\sqrt{2 g}\,t + C.
  • Aplicar condição inicial h(0)=3 para achar C:
2\sqrt{3} = C.
  • Portanto:
2\sqrt{h(t)} = 2\sqrt{3} - \frac{a}{\pi}\sqrt{2 g}\,t.
  • Simplificando:
\sqrt{h(t)} = \sqrt{3} - \frac{a}{2\pi}\sqrt{2 g}\,t.
  • Quadrando ambos os lados (mantendo atenção ao domínio: essa expressão vale enquanto o segundo membro for não negativo, ou seja até esvaziar):
h(t)=\left(\sqrt{3} - \frac{a}{2\pi}\sqrt{2 g}\,t\right)^{2}.
Essa é a forma geral de h(t) em função da área a do furo desconhecida.

Passo 4

Usar a condição “em 30 minutos a água cai pela metade” para determinar a:
  • Converter 30 minutos para segundos (unidades consistentes): 30\\ \text{min}=30\cdot60=1800\\ \text{s}.
  • Condição: h(1800)=1{,}5. Tomando raiz quadrada da expressão de h(t):
\sqrt{1{,}5} = \sqrt{3} - \frac{a}{2\pi}\sqrt{2 g}\cdot 1800.
  • Isolando o termo com a, definimos uma constante intermediária k:
k:=\frac{a}{2\pi}\sqrt{2 g} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{1{,}5} = \sqrt{3} - k\cdot 1800.
  • Assim
k = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{1{,}5}}{1800}.
  • Calculemos numericamente (usar vírgula como separador decimal):
\sqrt{3}\approx 1{,}732050808,\qquad \sqrt{1{,}5}\approx 1{,}224744871,
\sqrt{3}-\sqrt{1{,}5}\approx 0{,}507305937,
k\approx \frac{0{,}507305937}{1800}\approx 0{,}0002818366\\ \text{s}^{-1}.
  • Agora voltar a a:
a = \frac{2\pi k}{\sqrt{2 g}}.
  • Calcular \sqrt{2 g} com g=9{,}8\\ \text{m}\!/\text{s}^2:
\sqrt{2 g}=\sqrt{19{,}6}\approx 4{,}427188724\\ \text{m}\!/\text{s}.
  • Logo
a \approx \frac{2\pi \cdot 0{,}0002818366}{4{,}427188724}\approx 0{,}00040035\\ \text{m}^2.
  • Para ter uma ideia do tamanho do furo, raio equivalente r_{\text{furo}}=\sqrt{a/\pi}:
r_{\text{furo}}\approx \sqrt{\frac{0{,}00040035}{\pi}}\approx 0{,}01129\\ \text{m}\approx 1{,}13\\ \text{cm}.

Passo 5

Colocar a encontrado na expressão final de h(t) e escrever h(t) explicitamente:
  • Lembrando que \displaystyle k=\frac{a}{2\pi}\sqrt{2 g}\approx 0{,}0002818366\\ \text{s}^{-1}, temos
\sqrt{h(t)} = \sqrt{3} - k t,
portanto
h(t)=\left(\sqrt{3} - 0{,}0002818366\;t\right)^{2},
válido enquanto o parêntese for não negativo (ou seja, até o tanque esvaziar). Aqui t está em segundos e h em metros. Se preferir tempo em minutos, substituir t por 60\,t_{\text{min}}.

Passo 6

Determinar o tempo até esvaziar totalmente:
  • O tanque esvazia quando h(t)=0, isto é quando \sqrt{h(t)}=0, logo
0=\sqrt{3} - k\,t_{\text{vazio}}\quad\Rightarrow\quad t_{\text{vazio}}=\frac{\sqrt{3}}{k}.
  • Com os valores numéricos:
t_{\text{vazio}}\approx \frac{1{,}732050808}{0{,}0002818366}\approx 6145{,}2\\ \text{s}.
  • Converter para minutos/hora:
6145{,}2\\ \text{s}\approx \frac{6145{,}2}{60}\\ \text{min}\approx 102{,}42\\ \text{min}\approx 1\\ \text{h}\\\ 42\\ \text{min}\\\ 25\\ \text{s}.

Resposta

h(t)=\left(\sqrt{3}-0{,}0002818366\;t\right)^{2} (com t em segundos, válida enquanto o parêntese for não negativo).
Tempo para esvaziar: t_{\text{vazio}}\approx 6145{,}2\\ \text{s}\approx 102{,}42\\ \text{min}\approx 1\\ \text{h}\\\ 42\\ \text{min}\\\ 25\\ \text{s}.

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