Exemplo 3.5: Em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potencial de 10 volts enquanto a resistência é de 103 \Omega e a capacitância é de 10-4 Faraday. Vamos encontrar a carga Q(t) no capacitor em cada instante t, se Q(0)=0 e o limite de Q(t) quando t tende a mais infinito.

Passo 1

O enunciado dá um circuito RC com os seguintes dados:
  • diferença de potencial da bateria: V=10\\ \text{V};
  • resistência: R=103\\ \Omega;
  • capacitância: C=10^{-4}\\ \text{F};
  • condição inicial: Q(0)=0.
O que se pede:
  1. encontrar a carga Q(t) no capacitor em cada instante t;
  2. encontrar o limite de Q(t) quando t\to+\infty.

Passo 2

Modelagem física e fórmula básica. Num circuito série com bateria, resistor e capacitor, aplicando a lei de Kirchhoff para o circuito: a soma das quedas de potencial é igual à tensão da bateria. Isso dá a equação
V - iR - \frac{Q}{C}=0,
onde:
  • i é a corrente elétrica em ampères ( \text{A});
  • Q é a carga no capacitor em coulombs ( \text{C});
  • \dfrac{Q}{C} é a tensão no capacitor (em volts).
Como corrente é a taxa de variação da carga, vale i=\dfrac{dQ}{dt}. Substituindo na equação de Kirchhoff obtemos a equação diferencial para Q(t):
\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{RC}\,Q = \frac{V}{R}.
Aqui cada termo tem significado físico:
  • \dfrac{dQ}{dt} é a velocidade com que a carga muda;
  • \dfrac{1}{RC} é a constante que determina a rapidez com que o circuito responde (veremos isto como constante de tempo);
  • \dfrac{V}{R} é a fonte que “empurra” carga para o capacitor.

Passo 3

Resolver a equação diferencial de primeira ordem linear. A equação
\frac{dQ}{dt} + a\,Q = b,
com a=\dfrac{1}{RC} e b=\dfrac{V}{R}, é linear e constante. Método do fator integrante:
  1. Calcular o fator integrante \mu(t):
\mu(t)=\exp\!\left(\int a\,dt\right)=\exp\!\left(\frac{t}{RC}\right).
  1. Multiplicar a equação por \mu(t):
\exp\!\left(\frac{t}{RC}\right)\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{RC}\exp\!\left(\frac{t}{RC}\right)Q = \frac{V}{R}\exp\!\left(\frac{t}{RC}\right).
  1. O lado esquerdo é a derivada do produto \exp\!\left(\frac{t}{RC}\right)Q. Assim
\frac{d}{dt}\left(\exp\!\left(\frac{t}{RC}\right)Q\right)=\frac{V}{R}\exp\!\left(\frac{t}{RC}\right).
  1. Integrar em t:
\exp\!\left(\frac{t}{RC}\right)Q(t)=\frac{V}{R}\int \exp\!\left(\frac{t}{RC}\right)\,dt + C_1,
onde C_1 é constante de integração.
  1. Calcular a integral: \int \exp\!\left(\frac{t}{RC}\right)\,dt = RC\exp\!\left(\frac{t}{RC}\right). Logo
\exp\!\left(\frac{t}{RC}\right)Q(t)=\frac{V}{R}\cdot RC\exp\!\left(\frac{t}{RC}\right) + C_1.
  1. Simplificar (os expoentes iguais cancelam num termo):
Q(t)=VC + C_1\exp\!\left(-\frac{t}{RC}\right).
  1. Identificar VC como a carga em regime estacionário Q_{\infty}. Usar a condição inicial Q(0)=0 para achar C_1:
Q(0)=VC + C_1\exp(0)=VC + C_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 = -VC.
  1. Substituir C_1:
Q(t)=VC\left(1 - \exp\!\left(-\frac{t}{RC}\right)\right).
É comum definir a constante de tempo \tau = RC. Então a solução fica
Q(t)=Q_{\infty}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad Q_{\infty}=VC,\qquad \tau=RC.

Passo 4

Aplicar os valores numéricos dados. Calcular Q_{\infty} e \tau:
Q_{\infty}=V C = 10\cdot 10^{-4}=10^{-3}\\ \text{C}.
\tau = RC = 103\cdot 10^{-4}=103\times10^{-4}=0{,}0103\\ \text{s} = 1{,}03\times10^{-2}\\ \text{s}.
Substituindo na fórmula obtém-se a expressão numérica para Q(t):
Q(t)=10^{-3}\left(1 - \exp\!\left(-\frac{t}{0{,}0103}\right)\right)\\ \text{C}.

Passo 5

Limite quando t\to+\infty. Como \exp\!\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\to0 quando t\to+\infty, conclui-se
\lim_{t\to+\infty}Q(t)=Q_{\infty}=10^{-3}\\ \text{C}.
Pequena interpretação física (útil para prova): \tau=0{,}0103\\ \text{s} é o tempo característico. Após t=\tau o capacitor terá cerca de 63{,}2\% de Q_{\infty}, e após t\approx5\tau já estará essencialmente carregado (mais de 99\%).

Resposta

Q(t)=10^{-3}\left(1 - \exp\!\left(-\dfrac{t}{0{,}0103}\right)\right)\\ \text{C}\n
\displaystyle \lim_{t\to+\infty}Q(t)=10^{-3}\\ \text{C}

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