Exemplo 3.5: Em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potencial de 10 volts enquanto a resistência é de
e a capacitância é de 10-4 Faraday. Vamos encontrar a carga
no capacitor em cada instante
, se
e o limite de
quando
tende a mais infinito.
Passo 1
O enunciado dá um circuito RC com os seguintes dados:
- diferença de potencial da bateria:
; - resistência:
; - capacitância:
; - condição inicial:
.
O que se pede:
- encontrar a carga
no capacitor em cada instante ; - encontrar o limite de
quando .
Passo 2
Modelagem física e fórmula básica. Num circuito série com bateria, resistor e capacitor, aplicando a lei de Kirchhoff para o circuito: a soma das quedas de potencial é igual à tensão da bateria. Isso dá a equação
onde:
-
é a corrente elétrica em ampères ( ); -
é a carga no capacitor em coulombs ( ); -
é a tensão no capacitor (em volts).
Como corrente é a taxa de variação da carga, vale
. Substituindo na equação de Kirchhoff obtemos a equação diferencial para
:
Aqui cada termo tem significado físico:
-
é a velocidade com que a carga muda; -
é a constante que determina a rapidez com que o circuito responde (veremos isto como constante de tempo); -
é a fonte que “empurra” carga para o capacitor.
Passo 3
Resolver a equação diferencial de primeira ordem linear. A equação
com
e
, é linear e constante. Método do fator integrante:
- Calcular o fator integrante
:
- Multiplicar a equação por
:
- O lado esquerdo é a derivada do produto
. Assim
- Integrar em
:
onde
é constante de integração.
- Calcular a integral:
. Logo
- Simplificar (os expoentes iguais cancelam num termo):
- Identificar
como a carga em regime estacionário . Usar a condição inicial para achar :
- Substituir
:
É comum definir a constante de tempo
. Então a solução fica
Passo 4
Aplicar os valores numéricos dados. Calcular
e
:
Substituindo na fórmula obtém-se a expressão numérica para
:
Passo 5
Limite quando
. Como
quando
, conclui-se
Pequena interpretação física (útil para prova):
é o tempo característico. Após
o capacitor terá cerca de
de
, e após
já estará essencialmente carregado (mais de
).