Exemplo 3.2: O café está a 85^{\circ} \mathrm{C} logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 75^{\circ} \mathrm{C}, em uma cozinha a 25^{\circ} \mathrm{C}. Vamos determinar a temperatura do café em função do tempo. Qual o tempo que levará para o café chegar a 50^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Temperatura inicial do café logo depois de coado: T(0)=85^\circ\mathrm{C}.
  • Um minuto depois: T(1)=75^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da cozinha (ambiente): T_a=25^\circ\mathrm{C}.
  • O enunciado pede:
    1. Determinar a temperatura do café em função do tempo, isto é T(t) para t em minutos.
    2. Determinar o tempo que o café leva para chegar a 50^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Modelo físico e equação diferencial (a ideia por trás): vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Em fórmula:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr),
onde:
  • T(t) é a temperatura do café no instante t (em minutos),
  • T_a é a temperatura ambiente ( 25^\circ\mathrm{C}),
  • k>0 é a constante de proporcionalidade (medida em \text{min}^{-1}), que mede quão rápido o café troca calor com o ambiente,
  • o sinal negativo indica que, quando T(t)>T_a, a temperatura diminui.
Explicação rápida: se a diferença T-T_a for maior, a queda é mais rápida; se for pequena, a queda é mais lenta. A constante k depende do copo, da convecção, etc.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (passo a passo).
Partimos de
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_a\bigr).
Separamos variáveis (colocamos todos os termos em T de um lado e t do outro):
\frac{dT}{T-T_a} = -k\,dt.
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é uma integral do tipo \int \frac{dT}{T-T_a}=\ln|T-T_a|, e a do lado direito é \int -k\,dt = -k t + C. Assim:
\ln\bigl|T(t)-T_a\bigr| = -k t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando ambos os lados obtemos:
\bigl|T(t)-T_a\bigr| = e^{C} e^{-k t}.
Como a temperatura do café é maior que T_a nos instantes que consideramos, T(t)-T_a>0, então podemos remover o valor absoluto e escrever a solução geral como
T(t) = T_a + C' e^{-k t},
onde C' = e^{C} é uma constante positiva a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Determinar a constante C' usando a condição inicial T(0)=85^\circ\mathrm{C}.
Substituindo t=0 na solução geral:
T(0) = T_a + C' e^{-k\cdot 0} = T_a + C'.
Logo
C' = T(0) - T_a = 85 - 25 = 60.
Portanto a forma particular da temperatura é, ainda em termos de k:
T(t) = 25 + 60 e^{-k t}.
Comentário prático: isso já mostra que a diferença inicial em relação ao ambiente é 60^\circ\mathrm{C}, e essa diferença decai exponencialmente.

Passo 5

Determinar a constante k usando a informação T(1)=75^\circ\mathrm{C}.
Substituindo t=1 na solução:
75 = 25 + 60 e^{-k\cdot 1}.
Isolando e^{-k}:
60 e^{-k} = 75 - 25 = 50 \quad\Rightarrow\quad e^{-k} = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}.
Tomando logaritmo natural:
-k = \ln\!\left(\frac{5}{6}\right)\quad\Rightarrow\quad k = -\ln\!\left(\frac{5}{6}\right) = \ln\!\left(\frac{6}{5}\right).
Podemos deixar k nessa forma exata ou calcular numericamente:
k = \ln\!\left(\frac{6}{5}\right) \approx 0{,}1823215568\\ \text{min}^{-1}.
Observação útil: como e^{-k}=5/6, temos e^{-k t}=(e^{-k})^{t}=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{t}. Isso às vezes simplifica os cálculos.

Passo 6

Escrever a função temperatura final, de forma prática e também em forma com base 5/6.
Usando o C' e o k encontrados:
forma exponencial com log:
T(t) = 25 + 60 e^{-\ln(6/5)\,t}.
forma mais simples usando a potência:
T(t) = 25 + 60\left(\frac{5}{6}\right)^{t}.
Essa última expressão é muito intuitiva: a diferença 60^\circ\mathrm{C} é multiplicada por (5/6) a cada minuto.

Passo 7

Calcular o tempo que leva para o café atingir 50^\circ\mathrm{C}.
Queremos t tal que T(t)=50. Usamos a forma \,T(t)=25+60\left(\dfrac{5}{6}\right)^{t}\,:
50 = 25 + 60\left(\frac{5}{6}\right)^{t}.
Isolando a potência:
60\left(\frac{5}{6}\right)^{t} = 25 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{6}\right)^{t} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
t\ln\!\left(\frac{5}{6}\right) = \ln\!\left(\frac{5}{12}\right).
Como \ln\!\bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)<0 e \ln\!\bigl(\tfrac{5}{12}\bigr)<0, o quociente será positivo; isolando t:
t = \frac{\ln\!\left(\dfrac{5}{12}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{5}{6}\right)}.
Podemos transformar para ficar com argumentos maiores que 1 (opcional) usando propriedades de logaritmo:
t = \frac{\ln\!\left(\dfrac{12}{5}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{6}{5}\right)}.
Agora o valor numérico. Calculando os logaritmos:
\ln\!\left(\frac{12}{5}\right)\approx 0{,}8754687374,\qquad \ln\!\left(\frac{6}{5}\right)\approx 0{,}1823215568.
Dividindo:
t \approx \frac{0{,}8754687374}{0{,}1823215568} \approx 4{,}803.
Convertendo a parte decimal para segundos: 0{,}803\times 60 \approx 48{,}2 segundos. Portanto o tempo é aproximadamente 4 minutos e 48 segundos.

Passo 8

Checagem e interpretação rápida (importante para a prova):
  • Verificação rápida: para t=0, T(0)=25+60\cdot1=85^\circ\mathrm{C} (ok); para t=1, T(1)=25+60\cdot\frac{5}{6}=25+50=75^\circ\mathrm{C} (ok).
  • O modelo mostra uma queda exponencial da diferença com o ambiente; o café se aproxima assintoticamente de 25^\circ\mathrm{C} quando t\to\infty.
  • Resultado prático: levará cerca de 4{,}8 minutos para atingir 50^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T(t)=25+60\left(\dfrac{5}{6}\right)^{t}\n
t\approx 4{,}803\\ \text{minutos}\approx 4\\ \text{min}\\\ 48\\ \text{s}

Exercícios relacionados