Exemplo 3.2: O café está a 85^{\circ} \mathrm{C} logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 75^{\circ} \mathrm{C}, em uma cozinha a 25^{\circ} \mathrm{C}. Vamos determinar a temperatura do café em função do tempo. Qual o tempo que levará para o café chegar a 50^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Temperatura inicial do café logo depois de coado: T(0)=85^\circ\mathrm{C}.
Um minuto depois: T(1)=75^\circ\mathrm{C}.
Temperatura da cozinha (ambiente): T_a=25^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
Determinar a temperatura do café em função do tempo, isto é T(t) para t em minutos.
Determinar o tempo que o café leva para chegar a 50^\circ\mathrm{C}.
Passo 2
Modelo físico e equação diferencial (a ideia por trás): vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Em fórmula:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr),
onde:
T(t) é a temperatura do café no instante t (em minutos),
T_a é a temperatura ambiente (25^\circ\mathrm{C}),
k>0 é a constante de proporcionalidade (medida em \text{min}^{-1}), que mede quão rápido o café troca calor com o ambiente,
o sinal negativo indica que, quando T(t)>T_a, a temperatura diminui.
Explicação rápida: se a diferença T-T_a for maior, a queda é mais rápida; se for pequena, a queda é mais lenta. A constante k depende do copo, da convecção, etc.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (passo a passo).
Partimos de
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_a\bigr).
Separamos variáveis (colocamos todos os termos em T de um lado e t do outro):
\frac{dT}{T-T_a} = -k\,dt.
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é uma integral do tipo \int \frac{dT}{T-T_a}=\ln|T-T_a|, e a do lado direito é \int -k\,dt = -k t + C. Assim:
\ln\bigl|T(t)-T_a\bigr| = -k t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando ambos os lados obtemos:
\bigl|T(t)-T_a\bigr| = e^{C} e^{-k t}.
Como a temperatura do café é maior que T_a nos instantes que consideramos, T(t)-T_a>0, então podemos remover o valor absoluto e escrever a solução geral como
T(t) = T_a + C' e^{-k t},
onde C' = e^{C} é uma constante positiva a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Determinar a constante C' usando a condição inicial T(0)=85^\circ\mathrm{C}.
Substituindo t=0 na solução geral:
T(0) = T_a + C' e^{-k\cdot 0} = T_a + C'.
Logo
C' = T(0) - T_a = 85 - 25 = 60.
Portanto a forma particular da temperatura é, ainda em termos de k:
T(t) = 25 + 60 e^{-k t}.
Comentário prático: isso já mostra que a diferença inicial em relação ao ambiente é 60^\circ\mathrm{C}, e essa diferença decai exponencialmente.
Passo 5
Determinar a constante k usando a informação T(1)=75^\circ\mathrm{C}.