• Exemplo 1 - Um tanque rígido contém 0,5 \mathrm{~kg} de oxigênio inicialmente a 40 bar e 180 K . O gás é resfriado e a pressão é reduzida para 33 bar. Determinar o volume do tanque, em \mathrm{m}^{3}, e a temperatura final, em K .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Massa do oxigênio: m=0,5\\ \mathrm{kg}.
  • Pressão inicial: P_1=40\\ \mathrm{bar}.
  • Temperatura inicial: T_1=180\\ \mathrm{K}.
  • Pressão final: P_2=33\\ \mathrm{bar}.
  • O tanque é rígido (ou seja, o volume V é constante).
  • O que o enunciado pede:
    • determinar o volume do tanque em \mathrm{m^3};
    • determinar a temperatura final em \mathrm{K}.

Passo 2

Escolha do método e fórmula fundamental (explicando cada variável).
  • Para um gás (aqui vamos assumir o gás ideal; depois eu comento essa hipótese) a equação de estado é a lei dos gases ideais:
pV = m R T,
onde:
  • p é a pressão absoluta (em Pa),
  • V é o volume do recipiente (em \mathrm{m^3}),
  • m é a massa do gás (em kg),
  • R é a constante específica do gás (em \mathrm{J/(kg\;K)}),
  • T é a temperatura absoluta (em K).
  • Como o tanque é rígido, V é constante. Assim, conhecendo m, P_1 e T_1 podemos calcular V por:
V = \frac{m R T_1}{P_1}.
  • Uma vez encontrado V, para a condição final usamos a mesma equação com P_2 e T_2. Como V e m e R são constantes, resulta:
T_2 = \frac{P_2\,V}{mR} = \frac{P_2}{P_1}\,T_1.
(essa última forma mostra que, em processo isocórico para gás ideal, a temperatura é proporcional à pressão absoluta).

Passo 3

Constante específica R do oxigênio (cálculo e unidades).
  • A constante universal dos gases é \,R_u=8,314\\ \mathrm{J/(mol\;K)}.
  • Massa molar do oxigênio \mathrm{O_2} (aproximação usual): M=0,032\\ \mathrm{kg/mol}.
  • A constante específica R é \,R = \dfrac{R_u}{M}. Calculando:
R = \frac{8,314}{0,032} \approx 259,8\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
Aqui R tem unidade \mathrm{J/(kg\;K)}, que é compatível com m em kg e T em K para produzir pV em Pa·m^3 (ou J).

Passo 4

Cálculo do volume V (converter unidades e efetuar contas passo a passo).
  • Converter pressões de \mathrm{bar} para \mathrm{Pa}: 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
P_1 = 40\\ \mathrm{bar} = 40\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} = 4{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Usar a fórmula V=\dfrac{m R T_1}{P_1}. Substituindo valores:
m R T_1 = 0,5\times 259{,}8 \times 180.
Calcule passo a passo:
0,5\times 259{,}8 = 129{,}9,
129{,}9 \times 180 = 23\,384{,}2.
Portanto
V = \frac{23\,384{,}2}{4{,}0\times10^{6}} = 0{,}005846\\ \mathrm{m^3}.
Arredondando de forma razoável:
V \approx 0{,}00585\\ \mathrm{m^3}.
(para visualizar: V\approx 5{,}85\\ \mathrm{L}, pois 1\\ \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{L}).

Passo 5

Cálculo da temperatura final T_2 usando a proporcionalidade (explicando por que essa relação vale).
  • Como V é constante e m,R também, da lei dos gases ideais temos T_2 = \dfrac{P_2}{P_1} T_1.
  • Converter P_2 para \mathrm{Pa} (ou simplesmente usar a razão, pois ambos em bar cancelam):
\frac{P_2}{P_1} = \frac{33}{40} = 0{,}825.
  • Então
T_2 = 0{,}825 \times 180 = 148{,}5\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Observações finais didáticas e sobre a hipótese utilizada.
  • Foi assumido o comportamento de gás ideal ao usar pV=mRT. Isso é uma simplificação comum em exercícios de graduação. Na prática, a 40\\ \mathrm{bar} é uma pressão relativamente alta, e oxigênio pode apresentar desvios do ideal; para maior precisão seria necessário usar dados de compressibilidade Z ou uma equação de estado real (por exemplo, virial ou Peng–Robinson). Mas, como o enunciado não pediu correção real e é típico em provas usar o gás ideal, a solução acima é a esperada.
  • Boa notícia: o cálculo é direto quando se reconhece que o volume é constante — primeiro encontra-se V com P_1,T_1 e então usa-se a proporcionalidade para T_2. Está indo bem — continue assim!

Resposta

V \approx 0{,}00585\\ \mathrm{m^3}
T_2 = 148{,}5\\ \mathrm{K}

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