Questào 3: Vocè atualmente trabalha em uma Unidade Operacional Experimental na Girando Sol SA, indústria que produz sabào e detergente. Atualmente você juntamente com sua equipe técnica está testando uma nova reaçào de saponificação. A reação é irreversível e de densidade constante e ocorre a partir da adição de uma solução aquosa de acetato de etila com hidróxido de sódio. São adicionados no reator do tipo batelada 2,5 \mathrm{~g} / \mathrm{L} do acetato de etila e 4,0 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de soda cáustica.
\mathrm{C}_{4} \mathrm{H}_{8} \mathrm{O}_{2}+\mathrm{NaOH} \rightarrow \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{3} \mathrm{O}_{2} \mathrm{Na}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}
A reação ocorre a 25^{\circ} \mathrm{C}, sendo a constante cinética da reação igual a 2 \mathrm{~L} / \mathrm{mol}. Min. Determine a concentração de todos produtos e reagentes após 10 minutos de reação. (Valor 2,50). (As massas molares do hidróxido de sódio e do acetato de etila respectivamente são, 40 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, 88,11 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ).

Passo 1

O enunciado nos dá (peguei estes números do enunciado):
  • Reação estequiométrica (1:1):
\mathrm{C_4H_8O_2} + \mathrm{NaOH} \rightarrow \mathrm{C_2H_3O_2Na} + \mathrm{C_2H_6O}
  • Quantidades adicionadas ao reator (em massa por volume):
    • Acetato de etila: 2{,}5\\ \mathrm{g\;L^{-1}}.
    • NaOH (soda cáustica): 4{,}0\\ \mathrm{g\;L^{-1}}.
  • Massas molares fornecidas:
    • M_{\mathrm{NaOH}} = 40\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
    • M_{\mathrm{acetato\\ de\\ etila}} = 88{,}11\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
  • Temperatura e constante cinética (conforme enunciado): constante cinética k = 2\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;min^{-1}}(presume-se unidades por minuto, porque o enunciado diz “Min.”).
  • Tempo de reação pedido: t = 10\\ \mathrm{min}.
O que o problema pede:
  • Determinar as concentrações, após 10 minutos, de todos os reagentes e produtos (ou seja: acetato de etila, NaOH, acetato de sódio \mathrm{C_2H_3O_2Na} e etanol \mathrm{C_2H_6O}).

Passo 2

Entendendo o modelo e a lei de velocidade (aula rápida e prática).
  • Estamos em um reator batelada (batch): não entra nem sai massa durante a reação, então trabalhamos com concentrações que variam no tempo.
  • Reação bimolecular irreversível 1:1. Para esse tipo de reação elementar a lei de velocidade costuma ser:
-\frac{dC_A}{dt} = k\,C_A\,C_B,
onde:
  • C_A(t) é a concentração molar do acetato de etila no tempo t (mol/L),
  • C_B(t) é a concentração molar do NaOH no tempo t,
  • k é a constante cinética dada ( \mathrm{L\;mol^{-1}\;min^{-1}}),
  • o sinal negativo indica consumos de reagente.
  • Como a reação é 1:1, ao consumir uma mola de A consome-se uma mola de B e forma-se uma mola de cada produto. Isso permite usar a variável extensão de reação x(t) para simplificar (explico já).

Passo 3

Definição da extensão de reação e relações estequiométricas.
  • Defina x(t) = mols por litro reagidos até o tempo t. Então:
C_A(t) = C_{A0} - x(t),\qquad C_B(t) = C_{B0} - x(t),
onde C_{A0} e C_{B0} são concentrações iniciais molares (em mol/L).
  • A velocidade escrita em termos de x fica:
\frac{dx}{dt} = k\bigl(C_{A0}-x\bigr)\bigl(C_{B0}-x\bigr).
  • Esta equação é separável. A integral padrão (para C_{A0}\neq C_{B0}) é
\int_{0}^{x}\frac{d\xi}{(C_{A0}-\xi)(C_{B0}-\xi)} = \int_{0}^{t} k\,dt.
A primitiva no lado esquerdo é conhecida e resulta em (mostro a forma final que vamos usar):
\frac{1}{C_{B0}-C_{A0}}\ln\!\left(\frac{C_{B0}-x}{C_{A0}-x}\right)\Bigg|_{0}^{x}=k t.
Aplicando o limite inferior x=0 obtém-se a relação integrada
\ln\!\left(\frac{(C_{B0}-x)\,C_{A0}}{(C_{A0}-x)\,C_{B0}}\right)=(C_{B0}-C_{A0})\,k\,t.
Essa é a equação que permite encontrar x para t conhecido quando C_{A0}\neq C_{B0}.

Passo 4

Calcular as concentrações iniciais molares a partir das massas fornecidas (conversão massa → mol).
  • Para o acetato de etila (espécie A):
C_{A0}=\frac{2{,}5\\ \mathrm{g\;L^{-1}}}{88{,}11\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}}
C_{A0}=\frac{2{,}5}{88{,}11}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}\approx 0{,}02837\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Para o NaOH (espécie B):
C_{B0}=\frac{4{,}0\\ \mathrm{g\;L^{-1}}}{40\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}}
C_{B0}=\frac{4{,}0}{40}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}=0{,}10000\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
(Guarde essas duas concentrações iniciais: C_{A0}\approx 0{,}02837\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} e C_{B0}=0{,}10000\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.)

Passo 5

Avaliar o lado direito da equação integrada e preparar para resolver por x.
  • Calcule k t:
k t = 2\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;min^{-1}}\times 10\\ \mathrm{min}=20\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
  • Calcule a diferença inicial:
C_{B0}-C_{A0}=0{,}10000-0{,}02837=0{,}07163\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Então o produto que aparece na equação integrada é
(C_{B0}-C_{A0})\,k\,t = 0{,}07163\times 20 \approx 1{,}4326.

Passo 6

Resolver a equação integrada para x.
  • A equação a resolver é
\ln\!\left(\frac{(C_{B0}-x)\,C_{A0}}{(C_{A0}-x)\,C_{B0}}\right)=1{,}4326.
  • Exponenciando ambos os lados:
\frac{(C_{B0}-x)\,C_{A0}}{(C_{A0}-x)\,C_{B0}} = R, \qquad\text{com}\qquad R=\exp(1{,}4326)\approx 4{,}190.
  • Reorganizando para isolar x: defina
S = R\,\frac{C_{B0}}{C_{A0}}.
Então a relação torna-se
C_{B0}-x = S\,(C_{A0}-x).
Resolvendo para x obtemos a fórmula explícita
x=\frac{S\,C_{A0}-C_{B0}}{S-1}.

Passo 7

Cálculo numérico de x (mostrando todas as contas).
  • Primeiro calcule R mais precisamente:
R=\exp\bigl(1{,}4326\bigr)\approx 4{,}190.
  • Calcule a razão C_{B0}/C_{A0}:
\frac{C_{B0}}{C_{A0}}=\frac{0{,}10000}{0{,}02837}\approx 3{,}5259.
  • Então
S = R\cdot\frac{C_{B0}}{C_{A0}}\approx 4{,}190\times 3{,}5259\approx 14{,}776.
  • Use a fórmula para x:
x=\frac{14{,}776\times 0{,}02837 - 0{,}10000}{14{,}776-1} =\frac{0{,}41920 - 0{,}10000}{13{,}776} \approx\frac{0{,}31920}{13{,}776}\approx 0{,}02318\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 8

Determinar as concentrações finais de reagentes e produtos.
  • Concentração final do acetato de etila ( A):
C_A(t)=C_{A0}-x=0{,}02837-0{,}02318\approx 0{,}00519\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Concentração final do NaOH ( B):
C_B(t)=C_{B0}-x=0{,}10000-0{,}02318\approx 0{,}07682\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Concentração dos produtos (cada produto formado na mesma estequiometria, então igual a x):
C_{\mathrm{C_2H_3O_2Na}}(t)=C_{\mathrm{C_2H_6O}}(t)=x\approx 0{,}02318\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 9

(conversões para \mathrm{g\;L^{-1}} — útil para comparar com as massas iniciais)
  • Acetato de etila final em g/L:
C_A(t)\times M_{\mathrm{acetato\\ de\\ etila}} =0{,}00519\times 88{,}11\approx 0{,}457\\ \mathrm{g\;L^{-1}}.
  • NaOH final em g/L:
C_B(t)\times M_{\mathrm{NaOH}} =0{,}07682\times 40\approx 3{,}073\\ \mathrm{g\;L^{-1}}.
  • Para os produtos usei massas molares padrão:
    • M_{\mathrm{C_2H_6O}} (etanol) \approx 46{,}07\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
    • M_{\mathrm{C_2H_3O_2Na}} (acetato de sódio) \approx 82{,}03\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
      Então:
\text{etanol: }0{,}02318\times 46{,}07\approx 1{,}068\\ \mathrm{g\;L^{-1}}, \qquad \text{acetato de sódio: }0{,}02318\times 82{,}03\approx 1{,}901\\ \mathrm{g\;L^{-1}}.ó
  • Verificação rápida de balanço de massa (soma das massas finais \approx soma das massas iniciais):
0{,}457 + 3{,}073 + 1{,}068 + 1{,}901 \approx 6{,}499\\ \mathrm{g\;L^{-1}},
o que confere com a massa inicial 2{,}5 + 4{,}0 = 6{,}5\\ \mathrm{g\;L^{-1}} (diferença por arredondamentos mínimos).

Resposta

\mathrm{[acetato\\ de\\ etila]} = 0,00519\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} = 0,457\\ \mathrm{g\;L^{-1}}
\mathrm{[NaOH]} = 0,07682\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} = 3,073\\ \mathrm{g\;L^{-1}}
\mathrm{[C_2H_3O_2Na]} = 0,02318\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} = 1,901\\ \mathrm{g\;L^{-1}}
\mathrm{[C_2H_6O]} = 0,02318\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} = 1,068\\ \mathrm{g\;L^{-1}}

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