Considere a transferência de calor, no estado estacionário, através de uma parede de concreto com 15 cm de espessura e condutividade térmica de 1,1 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}. Sabendo que as temperaturas medidas em suas superfícies quente e fria são 18^{\circ} \mathrm{C} e 11{ }^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente, calcule: (i) o fluxo de calor através da parede; (ii) a quantidade de calor transferida no período de um dia em 1,0 \mathrm{~m}^{2} de parede.
Para reduzir a troca térmica, foi aplicada uma camada de 2,5 \mathrm{~cm} de isolante térmico (condutividade térmica de 0,040 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} ) no lado frio da parede. No estado estacionário, as temperaturas medidas foram: 19{ }^{\circ} \mathrm{C} no lado quente da parede e 9{ }^{\circ} \mathrm{C} na superfície do isolante em contato com o ar frio. Calcule: (iii) a temperatura na interface entre o concreto e o isolante térmico; (iv) o fluxo de calor; (v) a quantidade de calor transferida no período de um dia em 1,0 \mathrm{~m}^{2} de parede.
[Respostas: (i) q / A=51,3 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2}; (ii) Q=4,44 \mathrm{MJ}; (iii) T=17,2^{\circ} \mathrm{C}; (iv) q / A=13,1 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2}; (v) Q= 1,13 MJ]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números no enunciado).
Dados (caso inicial, só parede de concreto):
  • Espessura do concreto: L_c = 15\\ \mathrm{cm} = 0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do concreto: k_c = 1{,}1\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Temperatura na superfície quente da parede: T_{h,1} = 18^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura na superfície fria da parede: T_{c,1} = 11^\circ\mathrm{C}.
  • Área considerada: A=1{,}0\\ \mathrm{m}^2 (para a segunda parte pedir energia por 1{,}0\\ \mathrm{m}^2).
  • Tempo considerado para energia: t = 1\\ \text{dia} = 86400\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede:
(i) o fluxo de calor por unidade de área através da parede, isto é q/A, no caso sem isolante;
(ii) a quantidade de calor transferida em um dia em 1{,}0\\ \mathrm{m}^2;
Depois da aplicação do isolante (novo caso):
  • Espessura do isolante: L_i = 2{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade do isolante: k_i = 0{,}040\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Temperatura medida no lado quente da parede (agora): T_{h,2} = 19^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura medida na superfície externa do isolante (em contato com o ar frio): T_{c,2} = 9^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede ainda, no segundo caso:
(iii) a temperatura na interface entre concreto e isolante (chamar de T_{\text{int}});
(iv) o fluxo de calor por unidade de área q/A no novo caso;
(v) a quantidade de calor transferida em um dia em 1{,}0\\ \mathrm{m}^2 no novo caso.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática): condução estacionária unidimensional em uma parede plana.
  • A lei de Fourier para condução unidimensional diz que o fluxo de calor (potência) é proporcional ao gradiente de temperatura:
q = -k A \frac{dT}{dx},
onde q é a taxa de calor (W), k é a condutividade (W·m{-1}·K{-1}), A é a área (m^2) e \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura (K·m^{-1}).
  • No regime estacionário, com temperatura variando linearmente através de uma lâmina homogênea de espessura L, isso integra para:
\frac{q}{A} = k\,\frac{T_{\text{lado quente}} - T_{\text{lado frio}}}{L}.
Aqui \dfrac{q}{A} é o fluxo de calor por unidade de área (W·m^{-2}). Vou usar a forma positiva para a magnitude do fluxo: diferença de temperatura dividida pela resistência.
  • Para elementos em série (concreto + isolante) a resistência térmica de cada camada é
R = \frac{L}{k}\quad(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}\cdot\mathrm{W}^{-1}).
A resistência total é soma das resistências em série:
R_{\text{tot}} = \sum \frac{L}{k}.
E o fluxo é
\frac{q}{A}=\frac{T_{\text{quente}}-T_{\text{frio}}}{R_{\text{tot}}}.
Explicação das variáveis:
  • L: espessura da camada (m).
  • k: condutividade térmica da camada (W·m{-1}·K{-1}).
  • T_{\text{quente}} e T_{\text{frio}}: temperaturas nas superfícies extremas do sistema (K ou °C, porque diferenças de temperatura são iguais em ambas unidades).
  • R: resistência térmica superficial da camada (m2·K·W{-1}).
Agora aplico isso aos dados do problema.

Passo 3

(i) Cálculo do fluxo de calor por unidade de área no caso inicial (somente concreto).
  • Diferença de temperatura:
\Delta T_1 = T_{h,1}-T_{c,1} = 18^\circ\mathrm{C}-11^\circ\mathrm{C}=7\\ \mathrm{K}.
  • Aplicando a fórmula direta para uma única camada:
\frac{q}{A} = k_c\,\frac{\Delta T_1}{L_c}.
Substituindo valores:
\frac{q}{A} = 1{,}1\cdot\frac{7}{0{,}15}\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}.
Faço a conta passo a passo:
\frac{7}{0{,}15}= \frac{7}{0{,}15}=46{,}666\ldots
1{,}1\times 46{,}666\ldots = 51{,}333\ldots
Arredondando razoavelmente:
\frac{q}{A} \approx 51{,}3\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}.

Passo 4

(ii) Quantidade de calor transferida em um dia em 1{,}0\\ \mathrm{m}^2 no caso inicial.
  • Potência por área já é \dfrac{q}{A}. Para área A=1{,}0\\ \mathrm{m}^2 a potência é q = (q/A)\cdot A = q/A numericamente.
  • Energia transferida em tempo t é:
Q = q \, t = \left(\frac{q}{A}\right) A t.
Com A=1{,}0\\ \mathrm{m}^2 e t=86400\\ \mathrm{s}:
Q = 51{,}333\ldots \times 86400\\ \mathrm{J}.
Calculo:
Q = 51{,}333\ldots \times 86400 = 4\,435\,200\\ \mathrm{J}.
Convertendo para megajoule:
Q = 4{,}435\,2\times10^{6}\\ \mathrm{J} \approx 4{,}44\\ \mathrm{MJ}.

Passo 5

Preparação para o caso com isolante: conceito de resistências em série e lista de dados do segundo caso.
Dados reutilizados e novos valores:
  • Concreto: L_c = 0{,}15\\ \mathrm{m}, k_c = 1{,}1\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Isolante: L_i = 0{,}025\\ \mathrm{m}, k_i = 0{,}040\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Temperaturas nas extremidades agora: T_{h,2}=19^\circ\mathrm{C} (lado quente do concreto) e T_{c,2}=9^\circ\mathrm{C} (superfície externa do isolante).
  • Fórmula para fluxo em série:
\frac{q}{A} = \frac{T_{h,2}-T_{c,2}}{R_c+R_i},\qquad R_c=\frac{L_c}{k_c},\quad R_i=\frac{L_i}{k_i}.

Passo 6

Cálculo das resistências e da resistência total.
  • Resistência do concreto:
R_c=\frac{L_c}{k_c}=\frac{0{,}15}{1{,}1}\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}\cdot\mathrm{W}^{-1}=0{,}1363636\ldots
  • Resistência do isolante:
R_i=\frac{L_i}{k_i}=\frac{0{,}025}{0{,}040} = 0{,}625.
  • Resistência total:
R_{\text{tot}}=R_c+R_i=0{,}1363636\ldots + 0{,}625 = 0{,}7613636\ldots

Passo 7

(iv) Cálculo do fluxo de calor por unidade de área no caso com isolante.
  • Diferença de temperatura nas extremidades:
\Delta T_2 = T_{h,2}-T_{c,2}=19^\circ\mathrm{C}-9^\circ\mathrm{C}=10\\ \mathrm{K}.
  • Fluxo por área:
\frac{q}{A} = \frac{\Delta T_2}{R_{\text{tot}}} = \frac{10}{0{,}7613636\ldots}\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}.
Faço a divisão:
\frac{10}{0{,}7613636\ldots}=13{,}1313\ldots
Arredondando:
\frac{q}{A} \approx 13{,}1\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}.

Passo 8

(iii) Cálculo da temperatura na interface concreto/isolante ( T_{\text{int}}).
  • A queda de temperatura através do concreto vale:
\Delta T_c = \left(\frac{q}{A}\right) R_c.
Substituindo:
\Delta T_c = 13{,}1313\ldots \times 0{,}1363636\ldots = 1{,}7909\ldots\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura na interface (partindo do lado quente T_{h,2}=19^\circ\mathrm{C} e subtraindo a queda no concreto):
T_{\text{int}} = T_{h,2} - \Delta T_c = 19^\circ\mathrm{C} - 1{,}7909\ldots^\circ\mathrm{C} \approx 17{,}2^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

(v) Quantidade de calor transferida em um dia em 1{,}0\\ \mathrm{m}^2 no caso com isolante.
  • Energia em um dia:
Q = \left(\frac{q}{A}\right) A t = 13{,}1313\ldots \times 86400\\ \mathrm{J}.
Calculo:
Q = 13{,}1313\ldots \times 86400 = 1\,134\,518{,}4\\ \mathrm{J}.
Convertendo para MJ:
Q \approx 1{,}13\\ \mathrm{MJ}.

Resposta

(i) \dfrac{q}{A}=51{,}3\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}
(ii) Q=4{,}44\\ \mathrm{MJ}
(iii) T_{\text{int}}=17{,}2^\circ\mathrm{C}
(iv) \dfrac{q}{A}=13{,}1\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}
(v) Q=1{,}13\\ \mathrm{MJ}

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