Dê um exemplo de uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensões diferentes que seja injetora mas não sobrejetora, e outra que seja sobrejetora mas não injetora.

Passo 1

O enunciado pede dois exemplos de transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensões diferentes: uma que seja injetora mas não sobrejetora, e outra que seja sobrejetora mas não injetora. Para isso vamos usar as definições clássicas: uma transformação linear Tcolon Vto W é injetora se ker T=0 e é sobrejetora se ImT=W. O Teorema da Dimensão (rank–nullity) também confirma que dim V=dimker T+dimImT.

Passo 2

Exemplo de transformação injetora mas não sobrejetora. Defina
fcolon R^2toR^3, f(x,y) = (x,y,0)
É fácil ver que f é linear porque preserva soma e multiplicação por escalar:
f((x1,y1)+(x2,y2)) = f(x1+x2,;y1+y2) = (x1+x2,;y1+y2,0)
= (x1,y1,0)+(x2,y2,0) = f(x1,y1)+f(x2,y2),
e similar para escalares. Para a injetividade, note que
f(x,y) = (0,0,0) implies (x,y,0)=(0,0,0)implies x=0,;y=0,
logo ker f=(0,0), ou seja, f é injetora. Já a imagem é
Imf = (x,y,0)mid x,yinR,
que é um plano próprio de R^3, logo ImfneqR^3 e f não é sobrejetora.

Passo 3

Exemplo de transformação sobrejetora mas não injetora. Defina
gcolon R^3toR^2, g(x,y,z) = (x,y)
Também é linear pois gl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = (x1+x2,;y1+y2) = (x1,y1)+(x2,y2). A imagem de g é
Img = (x,y)mid x,yinR = R^2,
portanto g é sobrejetora. Porém
g(x,y,z) = (0,0)implies x=0,;y=0,;z livre,
logo ker g = (0,0,z)mid zinR não é trivial, e g não é injetora.

Resposta

Exemplo injetora não sobrejetora:
fcolon R^2toR^3, f(x,y)=(x,y,0)
Exemplo sobrejetora não injetora:
gcolon R^3toR^2, g(x,y,z)=(x,y)

Exercícios relacionados