Dê um exemplo de uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensões diferentes que seja injetora mas não sobrejetora, e outra que seja sobrejetora mas não injetora.
Passo 1
O enunciado pede dois exemplos de transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensões diferentes: uma que seja injetora mas não sobrejetora, e outra que seja sobrejetora mas não injetora. Para isso vamos usar as definições clássicas: uma transformação linear
é injetora se
e é sobrejetora se
. O Teorema da Dimensão (rank–nullity) também confirma que
.
Passo 2
Exemplo de transformação injetora mas não sobrejetora. Defina
É fácil ver que
é linear porque preserva soma e multiplicação por escalar:
e similar para escalares. Para a injetividade, note que
logo
, ou seja,
é injetora. Já a imagem é
que é um plano próprio de
, logo
e
não é sobrejetora.
Passo 3
Exemplo de transformação sobrejetora mas não injetora. Defina
Também é linear pois
. A imagem de
é
portanto
é sobrejetora. Porém
logo
não é trivial, e
não é injetora.
Resposta
Exemplo injetora não sobrejetora:
Exemplo sobrejetora não injetora: