1 Seja B:=(2,1),(-1,2) subseteq R^2. Mostre que B é uma base para R^2 e calcule [(5,-2)]B.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto B=(2,1),,(-1,2)subseteqR^2 e pede dois passos: mostrar que B é uma base de R^2 e calcular as coordenadas de (5,-2) em relação a ela. Vamos usar definição de base (independência linear e geração) e solução de sistema linear para encontrar coordenadas.

Passo 2

Para ver que B é uma base, basta mostrar que os dois vetores são linearmente independentes em R^2. Colocando-os como colunas da matriz
M=2 & -11 & 2,
calculamos o determinante:
det(M)=2cdot2 - (-1)cdot1 = 5 neq 0
Como det(M)neq0, os vetores são linearmente independentes e, tendo exatamente dois vetores em R^2, eles formam uma base.

Passo 3

Para achar
Isso gera o sistema
Da primeira equação vem (b=2a-5]. Substituindo na segunda:

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Resposta

B é uma base de R^2 e
[(5,-2)]B = l(tfrac85,,-tfrac95r)

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