Sejam B=v1=(1,1,1) ; v2=(-1,1,1) ; v3=(0,0,-1).
a) Mostre que B é uma base.
b) Seja T(v1)=v1 ; T(v2)=-v2 ; T(v3)=2 v3
i) Calcule T(e1) ; T(e2) ; T(e3), onde e1, e2, e3 é a base canônica de R^3
ii) Obtenha uma expressão genérica pata T(x, y, z)

Passo 1

O enunciado define a família de vetores
B=v1=(1,1,1),,v2=(-1,1,1),,v3=(0,0,-1) em R^3 e pede:
a) mostrar que B é base;
b) para a transformação linear T dada por
T(v1)=v1, T(v2)=-v2, T(v3)=2v3,
i) calcular T(e1),T(e2),T(e3) na base canônica e1,e2,e3;
ii) obter T(x,y,z) para vetor genérico (x,y,z).
Vamos usar critérios de independência linear (determinante) e mudança de base.

Passo 2

Para mostrar que B é base basta ver que os vetores são linearmente independentes. Tomando a matriz cujas colunas são v1,v2,v3, temos
det 1 & -1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & -1 = -2 neq 0
Como o determinante é não nulo, v1,v2,v3 é LI e gera R^3, logo é base.

Passo 3

Para calcular
Isso dá o sistema
cuja solução é , . Portanto
e, usando linearidade,

Passo 4

Para
e obtemos
cuja solução é . Logo
e

Passo 5

Para T(e3) resolvemos
e3=(0,0,1)=a,v1+b,v2+c,v3,
obtendo a=b=0, c=-1. Assim
e3 = -,v3,
e
T(e3) = -,T(v3) = -,2,v3 = (0,0,2)

Passo 6

Finalmente, para vetor genérico (x,y,z) na base canônica, a linearidade de T
T(x,y,z) = x,T(e1) + y,T(e2) + z,T(e3) = x(0,1,1) + y(1,0,-2) + z(0,0,2)
Somando componentes resulta
T(x,y,z) = l(y,;x,;x - 2y + 2zr)

Resposta

a) B é base porque os vetores são LI ( detneq0).
b) i) T(e1)=(0,1,1), T(e2)=(1,0,-2), T(e3)=(0,0,2).
ii) T(x,y,z)=(y,;x,;x-2y+2z).

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