Sejam
.
a) Mostre que
é uma base.
b) Seja
i) Calcule
, onde
é a base canônica de
ii) Obtenha uma expressão genérica pata
a) Mostre que
b) Seja
i) Calcule
ii) Obtenha uma expressão genérica pata
Passo 1
O enunciado define a família de vetores
em
e pede:
a) mostrar que é base;
b) para a transformação linear dada por
a) mostrar que
b) para a transformação linear
i) calcular
na base canônica
;
ii) obter para vetor genérico
.
Vamos usar critérios de independência linear (determinante) e mudança de base.
ii) obter
Vamos usar critérios de independência linear (determinante) e mudança de base.
Passo 2
Para mostrar que
é base basta ver que os vetores são linearmente independentes. Tomando a matriz cujas colunas são
, temos
Como o determinante é não nulo,
v1,v2,v3 é LI e gera
R^3 , logo é base.
Passo 3
Para calcular
Isso dá o sistema
cuja solução é ,
. Portanto
e, usando linearidade,
Passo 4
Para
e obtemos
cuja solução é . Logo
e
Passo 5
Para
T(e3) resolvemos
obtendo
a=b=0 ,
c=-1 . Assim
e
Passo 6
Finalmente, para vetor genérico
(x,y,z) na base canônica, a linearidade de
T dá
Somando componentes resulta
Resposta
a)
B é base porque os vetores são LI (
detneq0 ).
b) i)T(e1)=(0,1,1) ,
T(e2)=(1,0,-2) ,
T(e3)=(0,0,2) .
ii)T(x,y,z)=(y,;x,;x-2y+2z) .
b) i)
ii)