- Dê um exemplo de três matrizes 
  tal que 
  não é a matriz nula e tenha 
  com 
 . 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar três matrizes 
 , chamadas 
 , 
  e 
 , onde 
  não é a matriz zero. Além disso, ao multiplicar 
  por 
  e 
  por 
 , o resultado deve ser o mesmo, ou seja, 
 , mesmo que 
  e 
  sejam matrizes diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de multiplicação de matrizes e propriedades das matrizes nulas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que multiplicar uma matriz por outra envolve combinar linhas e colunas de uma forma específica. Se queremos que 
 , mas 
 , precisamos que a diferença entre 
  e 
  seja “anulada” pela matriz 
 . Isso significa que 
  deve ter algo que faça com que a diferença 
  resulte em uma matriz que, quando multiplicada por 
 , dá a matriz zero.
Passo 3
Vamos escolher uma matriz 
  não nula que tenha pelo menos uma linha de zeros. Por exemplo:
Essa escolha é útil porque, ao multiplicar 
  por outras matrizes, a segunda linha de 
  (que é toda zero) vai “anular” a segunda linha das matrizes 
  e 
 .
Passo 4
Agora, vamos definir duas matrizes diferentes 
  e 
  que só diferem na segunda linha, já que a primeira linha será afetada pela primeira linha de 
 . Por exemplo:
Aqui, 
  e 
  são diferentes porque suas segundas linhas são diferentes (
  ou 
 ).
Passo 5
Vamos calcular 
  e 
  para ver se eles são iguais:
Como podemos ver, 
 , mesmo que 
 .
Resposta
Um exemplo é:
onde 
  ou 
 . Com essas matrizes, temos 
  e 
 .