Seja U=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} ; x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0\right. e \left.-x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}=0\right\} subespaço de \mathbb{R}^{3}. Determine um subespaço W de \mathbb{R}^{3} tal que \mathbb{R}^{3}=V \oplus W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
U=\bigl\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3}\mid x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0,\;-x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=0\bigr\}
e pede um subespaço W\subset\mathbb{R}^{3} tal que \mathbb{R}^{3}=U\oplus W. O conteúdo usado será solução de sistemas lineares para achar base de U, cálculo de dimensão, e construção de um complemento direto.

Passo 2

Resolvendo o sistema
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0,\\\\ -\,x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=0, \end{cases}
somando as duas equações obtemos
5x_{2}+3x_{3}=0\;\implies\;x_{2}=-\tfrac{3}{5}x_{3}.
Substituindo em x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0
x_{1}=-2x_{2}-x_{3} =-2\Bigl(-\tfrac{3}{5}x_{3}\Bigr)-x_{3} =\tfrac{1}{5}x_{3}.

Passo 3

Escrevendo \,t=x_{3}, um vetor genérico de U é
(x_{1},x_{2},x_{3}) =t\Bigl(\tfrac{1}{5},-\tfrac{3}{5},1\Bigr) \;=\; \frac{t}{5}\,(1,-3,5).
Logo
U=\Span\{(1,-3,5)\},
e \dim(U)=1.

Passo 4

Como \dim(\mathbb{R}^{3})=3, para ter \mathbb{R}^{3}=U\oplus W precisamos de \dim(W)=2. Escolhemos o plano
W=\{(x_{1},x_{2},0)\mid x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\} =\Span\{(1,0,0),(0,1,0)\}.

Passo 5

Verificamos U\cap W=\{0\}. Se (x_{1},x_{2},0)\in U então
x_{1}+2x_{2}=0, \quad -\,x_{1}+3x_{2}=0
soma dá 5x_{2}=0\implies x_{2}=0 e então x_{1}=0. Logo só o vetor zero está na interseção.

Passo 6

Mostramos U+W=\mathbb{R}^{3}. Dado (a,b,c), tomamos t=\tfrac{c}{5} e
w=(a-t,\;b+3t,\;0)\in W, \quad u=t\,(1,-3,5)\in U.
Então
u+w =(t,\,-3t,\,5t)+(a-t,\;b+3t,\;0) =(a,b,c).
A decomposição é única, garantindo soma direta.

Resposta

W=\{(x_{1},x_{2},0)\mid x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\} =\Span\{(1,0,0),(0,1,0)\}.

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