Exemplo - Cálculo de uma integral de linha usando o Teorema de Green Estendido
Seja
definido em
. Calcule:
a)
, sendo
.
b)
, sendo
uma curva fechada,
por partes, que envolve a origem.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
da campo
da campo
em duas curvas fechadas que envolvem a origem. Vamos primeiro parametrize
(o círculo de raio
) e depois usar o fato de que qualquer outra curva
envolvendo a origem uma vez tem a mesma integral (deformação em domínio irrotacional exceto no singular).
Passo 2
Parametrização de
:
Em
o campo vale
Passo 3
O integrando é
Logo
Passo 4
Sea
uma curva fechada
por partes que envolve a origem uma vez positivamente. Como
é irrotacional em
e
pode ser deformada em
sem cruzar o ponto singular, a integral se preserva. Portanto
Resposta
a)
b)
b)