Exemplo - Cálculo de uma integral de linha usando o Teorema de Green Estendido

Seja
F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j
definido em D=R^2 backslash(0,0). Calcule:
a) ointC1 F cdot d r, sendo C1: x^2+y^2=a^2, a>0.
b) ointC2 F cdot d r, sendo C2 uma curva fechada, C^1 por partes, que envolve a origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointCvec Fcdot dvec r
da campo
vec F(x,y)=-yx^2+y^2,vec i+xx^2+y^2,vec j
em duas curvas fechadas que envolvem a origem. Vamos primeiro parametrize C1 (o círculo de raio a) e depois usar o fato de que qualquer outra curva C2 envolvendo a origem uma vez tem a mesma integral (deformação em domínio irrotacional exceto no singular).

Passo 2

Parametrização de C1:
vec r(t)=l(acos t,;asin tr), tin[0,2pi],
vec r,'(t)=l(-asin t,;acos tr)
Em vec r(t) o campo vale
vec F(vec r(t)) =l(tfrac-asin ta^2,;tfracacos ta^2r) =l(-tfracsin ta,;tfraccos tar)

Passo 3

O integrando é
vec F(vec r(t))cdotvec r,'(t) =l(-tfracsin tar)(-asin t) +l(tfraccos tar)(acos t) =sin^2t+cos^2t=1
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ointC1vec Fcdot dvec r =integral0^2pi1,dt =2pi

Passo 4

Sea C2 uma curva fechada C^1 por partes que envolve a origem uma vez positivamente. Como vec F é irrotacional em Dsetminus(0,0) e C2 pode ser deformada em C1 sem cruzar o ponto singular, a integral se preserva. Portanto
ointC2vec Fcdot dvec r = 2pi

Resposta

a) 2pi
b) 2pi

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