Dé exemplo de um vetor de \mathbb{R}^{3} que é ortogonal a (1,0,2) e (3,1,2) simultaneamente e que tem norma 5.

Passo 1

O enunciado pede um vetor em \mathbb{R}^3 que seja ortogonal a (1,0,2) e a (3,1,2) simultaneamente e que tenha norma igual a 5.
Para achar um vetor perpendicular a dois vetores em \mathbb{R}^3, usamos o produto vetorial. Depois, ajustamos o comprimento (norma) por um fator de escala.

Passo 2

Calculemos o produto vetorial de (1,0,2) por (3,1,2):
(1,0,2)\times(3,1,2) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 1 & 0 & 2 \\[3pt] 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \bigl(-2,\;4,\;1\bigr).
Esse vetor é ortogonal aos dois dados.]

Passo 3

Calculemos a norma de \;(-2,4,1):
\|(-2,4,1)\| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}.

Passo 4

Para ajustar a norma de \sqrt{21} para 5, multiplicamos por \tfrac{5}{\sqrt{21}}. Logo, um vetor com norma 5 e perpendicular aos dois dados é
v = \frac{5}{\sqrt{21}}\,(-2,4,1).

Resposta

v = \frac{5}{\sqrt{21}}\,(-2,4,1).

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