Ache a projeção ortogonal de u na direção de v.
Determine u=(2,-1,1) e v=(-4,2,-1)

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de u sobre a direção de v, onde
u = (2,-1,1), \quad v = (-4,2,-1).
O conteúdo aqui é projeção de vetor, e vamos usar a definição que dá a componente de u ao longo de v.

Passo 2

A fórmula da projeção ortogonal de u em v é
\mathrm{proj}_{v}(u) = \frac{u\cdot v}{\|v\|^{2}}\;v,
onde u\cdot v é o produto escalar e \|v\|^{2} = v\cdot v.

Passo 3

Calculamos o produto escalar e a norma ao quadrado de v:
u\cdot v = 2\cdot(-4) + (-1)\cdot 2 + 1\cdot(-1) = -8 -2 -1 = -11,
\|v\|^{2} = (-4)^{2} + 2^{2} + (-1)^{2} = 16 + 4 + 1 = 21.

Passo 4

Substituindo na fórmula, o escalar é \dfrac{-11}{21}, logo
\mathrm{proj}_{v}(u) = \frac{-11}{21}\;(-4,2,-1) = \Bigl(\tfrac{44}{21},\, -\tfrac{22}{21},\, \tfrac{11}{21}\Bigr).

Resposta

A projeção de u na direção de v é
\mathrm{proj}_{v}(u) = \Bigl(\tfrac{44}{21},\, -\tfrac{22}{21},\, \tfrac{11}{21}\Bigr).

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