Ache a projeção ortogonal de u na direção de v.
Determine u=(1,2) e v=(2,4)

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de u=(1,2) na direção de v=(2,4). O conteúdo usado é produto interno e multiplicação de vetor por escalar, pois a fórmula da projeção é
\mathrm{proj}_{v}(u)=\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^{2}}\,v.

Passo 2

Calcular o produto interno \langle u,v\rangle e o quadrado da norma de v:
\langle u,v\rangle = 1\cdot2 + 2\cdot4 = 2 + 8 = 10,
\|v\|^{2} = \langle v,v\rangle = 2\cdot2 + 4\cdot4 = 4 + 16 = 20.

Passo 3

Aplicar a fórmula da projeção e simplificar:
\mathrm{proj}_{v}(u) = \frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^{2}}\,v = \frac{10}{20}\,(2,4) = \tfrac{1}{2}\,(2,4) = (1,2).

Resposta

A projeção ortogonal de u na direção de v é (1,2).

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