E um jogo de bingo são utilizados os 48 primeiros números naturais não nulos, ou seja, números de 1 até 48. Calcule a probabilidade de obter números:
(b) múltiplos de 2 ou de 3

Passo 1

O enunciado diz que o jogo usa os ...48... primeiros números naturais não nulos, isto é, os números de ...1... até ...48.... A pergunta (b) pede a probabilidade de obter um número que seja múltiplo de ...2... ou de ...3....\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Universo (total de resultados possíveis): todos os números de ...1... a ...48..., então o número total de resultados é ...48....
  • Evento buscado: número escolhido que seja múltiplo de ...2... ou múltiplo de ...3....

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição que vamos usar: a probabilidade de um evento A quando todos os resultados são igualmente prováveis é
P(A)=\frac{\text{número de resultados favoráveis a }A}{\text{número total de resultados}}.úáú
Aqui o evento A é "ser múltiplo de ...2... ou de ...3...". O número total de resultados é ...48.... Agora precisamos contar quantos números entre ...1... e ...48... são múltiplos de ...2... ou de ...3....

Passo 3

Contagem de múltiplos de ...2.... Regra prática: o número de múltiplos de um inteiro ...k... entre ...1... e ...n... é \left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor (parte inteira de \frac{n}{k}). Aqui
\text{múltiplos de }2:\quad \left\lfloor\frac{48}{2}\right\rfloor=24.ú
Ou seja, há ...24... números em ...1,\dots,48... que são divisíveis por ...2....

Passo 4

Contagem de múltiplos de ...3...:
\text{múltiplos de }3:\quad \left\lfloor\frac{48}{3}\right\rfloor=16.ú
...16... números divisíveis por ...3... no intervalo.

Passo 5

Contagem da interseção (múltiplos de ...2... e de ...3... ao mesmo tempo). Um número que é múltiplo de ...2... e de ...3... é múltiplo do mínimo múltiplo comum, que é ...6.... Então
\text{múltiplos de }6:\quad \left\lfloor\frac{48}{6}\right\rfloor=8.ú
...8... números que são múltiplos de ambos.

Passo 6

Agora aplicamos o princípio da inclusão-exclusão para contar quantos números são múltiplos de ...2... ou de ...3...:
\#(\text{múltiplos de }2\text{ ou }3)=\#(2)+\#(3)-\#(2\text{ e }3).ú
Substituindo os valores:
\#(\text{favoráveis})=24+16-8=32.á

Passo 7

Finalmente, a probabilidade pedida é
P(\text{múltiplo de }2\text{ ou }3)=\frac{32}{48}.ú
Simplificando a fração, dividimos numerador e denominador pelo máximo divisor comum (que é ...16...):
\frac{32}{48}=\frac{32\div16}{48\div16}=\frac{2}{3}.
Interpretando: a chance é ...\tfrac{2}{3}..., ou aproximadamente ...0{,}666\ldots....

Resposta

\dfrac{2}{3}

Exercícios relacionados