E um jogo de bingo são utilizados os 48 primeiros números naturais não nulos, ou seja, números de 1 até 48. Calcule a probabilidade de obter números:
(b) múltiplos de 2 ou de 3
(b) múltiplos de 2 ou de 3
Passo 1
O enunciado diz que o jogo usa os
primeiros números naturais não nulos, isto é, os números de
até
. A pergunta (b) pede a probabilidade de obter um número que seja múltiplo de
ou de
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Universo (total de resultados possíveis): todos os números de
a , então o número total de resultados é . - Evento buscado: número escolhido que seja múltiplo de
ou múltiplo de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição que vamos usar: a probabilidade de um evento
quando todos os resultados são igualmente prováveis é
Aqui o evento
é "ser múltiplo de
ou de
". O número total de resultados é
. Agora precisamos contar quantos números entre
e
são múltiplos de
ou de
.
Passo 3
Contagem de múltiplos de
. Regra prática: o número de múltiplos de um inteiro
entre
e
é
(parte inteira de
). Aqui
Ou seja, há
números em
que são divisíveis por
.
Passo 4
Contagem de múltiplos de
:
Há
números divisíveis por
no intervalo.
Passo 5
Contagem da interseção (múltiplos de
e de
ao mesmo tempo). Um número que é múltiplo de
e de
é múltiplo do mínimo múltiplo comum, que é
. Então
Há
números que são múltiplos de ambos.
Passo 6
Agora aplicamos o princípio da inclusão-exclusão para contar quantos números são múltiplos de
ou de
:
Substituindo os valores:
Passo 7
Finalmente, a probabilidade pedida é
Simplificando a fração, dividimos numerador e denominador pelo máximo divisor comum (que é
):
Interpretando: a chance é
, ou aproximadamente
.