Exemplos: Calcule a transformada das funções abaixo:
Passo 1
Beleza! A questão pede para calcular a transformada de $ f(t) = \sin t $. Isso envolve o uso da transformada de Laplace, uma ferramenta matemática super útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Vamos precisar lembrar da definição da transformada de Laplace e da fórmula específica para a função seno.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função no tempo $ f(t) $ em uma função no domínio de frequência $ F(s) $. A definição matemática é:
No nosso caso, $ f(t) = \sin t $. Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Calcular essa integral diretamente pode ser um pouco trabalhoso, mas felizmente temos uma fórmula pronta para a transformada de Laplace de $ \sin at $:
Aqui, $ a $ é uma constante que multiplica o tempo dentro da função seno. No nosso caso, a função é $ \sin t $, o que significa que $ a = 1 $.
Passo 4
Substituindo $ a = 1 $ na fórmula, temos:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ f(t) = \sin t $ é $ \mathcal{L}{\sin t} = \dfrac{1}{s^{2} + 1} $.