Exemplos: Calcule a transformada das funções abaixo:
f(t)=0, t^2 t >= 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace unilateral da função f(t) definida por f(t)=0 para t<0 e f(t)=t^2 para t≥0. O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace, e vamos usar sua definição integral e propriedades de integrais impróprias.

Passo 2

Pela definição de transformada de Laplace unilateral, temos
F(s)=integral0^+inftyf(t)e^-st,dt
Como f(t)=t^2 para t≥0, podemos substituir na integral.
Substituindo f(t) na integral, obtemos
F(s)=integral0^+inftyt^2e^-st,dt
Agora precisamos avaliar essa integral imprópria.

Passo 3

Reconhecemos que
integral0^+inftyt^n e^-st,dt=n!s^n+1,
para n>−1 e Re(s)>0. No nosso caso, n=2, então
integral0^+inftyt^2e^-st,dt=2!s^3=2s^3

Passo 4

Portanto, a transformada de Laplace de f(t)=t^2 para t≥0 é dada por F(s)=2/s^3.

Resposta

2s^3

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