l A=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 4 B=(x, y) in R^2 y <= raiz3|x| C=(x, y) in R^2 ; y >=-raiz2
Calcule a área da região definida por A cap B cap C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a área da região que está na interseção dos conjuntos A, B e C. Esses conjuntos são definidos no plano cartesiano da seguinte forma:
  • Conjunto A: É um círculo centrado na origem (0,0) com raio 2, já que a equação é x^2 + y^2 <= 4.
  • Conjunto B: É a região abaixo das retas y = raiz3|x|. Essas retas formam um “X” simétrico em relação ao eixo y.
  • Conjunto C: É a região acima da linha horizontal y = -raiz2.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como interseção de curvas e cálculo de áreas de regiões delimitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada conjunto:
  1. Conjunto A: Representa todos os pontos dentro e na borda de um círculo de raio 2.
  2. Conjunto B: As inequações y <= raiz3x e y <= -raiz3x definem duas retas que fazem um ângulo de 60 graus com o eixo x. A região B é a área abaixo dessas duas retas.
  3. Conjunto C: É simplesmente toda a região acima da linha horizontal y = -raiz2.

Passo 3

Agora, precisamos visualizar a interseção desses três conjuntos. A região A cap B cap C será o conjunto de pontos que estão simultaneamente dentro do círculo A, abaixo das retas de B e acima da linha de C.
Para facilitar, vamos encontrar os pontos onde essas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção entre elas.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as retas que definem B e a linha que define C:
  • Igualando y = raiz3x a y = -raiz2:
    raiz3x = -raiz2 implies x = -raiz2raiz3 = -raiz63
    Então, o ponto de interseção é (-raiz63, -raiz2).
  • Igualando y = -raiz3x a y = -raiz2:
    -raiz3x = -raiz2 implies x = raiz2raiz3 = raiz63
    Então, o outro ponto de interseção é (raiz63, -raiz2).

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar os pontos de interseção entre as retas de B e o círculo A:
  • Substituindo y = raiz3x na equação do círculo x^2 + y^2 = 4:
    x^2 + (raiz3x)^2 = 4 implies x^2 + 3x^2 = 4 implies 4x^2 = 4 implies x^2 = 1 implies x = pm1
    Então, os pontos de interseção são (1, raiz3) e (-1, -raiz3).

Passo 6

Agora que temos todos os pontos de interseção, podemos visualizar a região A cap B cap C. Ela está limitada pelo círculo A, pelas retas de B e pela linha de C, formando uma espécie de “fatia” do círculo.

Passo 7

Para calcular a área dessa região, uma abordagem eficiente é usar a fórmula da área do setor circular e subtrair as áreas dos triângulos formados pelas interseções das retas.
Primeiro, vamos determinar o ângulo do setor. As retas de B formam um ângulo de 60 graus, ou pi3 radianos.
A área do setor circular é dada por:
Asetor = 12 r^2 theta = 12 times 2^2 times pi3 = 42 times pi3 = 2pi3

Passo 8

Em seguida, calculamos a área dos dois triângulos formados pelas retas de B e a linha de C. Cada triângulo tem base 2 (diâmetro do círculo) e altura raiz2.
A área de um triângulo é:
Atriângulo = 12 times base times aâ
Como são dois triângulos, a área total é 2 times raiz2.

Passo 9

Agora, subtraímos a área dos triângulos da área do setor para encontrar a área da região A cap B cap C:
Aregião = Asetor - 2 times Atriângulo = 2pi3 - 2raiz2 ãâ

Resposta

A área da região A cap B cap C é 2pi3 - 2raiz2 unidades de área.

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