Calcule a área da região definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a área da região que está na interseção dos conjuntos
,
e
. Esses conjuntos são definidos no plano cartesiano da seguinte forma:
- Conjunto
: É um círculo centrado na origem com raio 2, já que a equação é . - Conjunto
: É a região abaixo das retas . Essas retas formam um “X” simétrico em relação ao eixo . - Conjunto
: É a região acima da linha horizontal .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como interseção de curvas e cálculo de áreas de regiões delimitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada conjunto:
- Conjunto
: Representa todos os pontos dentro e na borda de um círculo de raio 2. - Conjunto
: As inequações e definem duas retas que fazem um ângulo de 60 graus com o eixo . A região é a área abaixo dessas duas retas. - Conjunto
: É simplesmente toda a região acima da linha horizontal .
Passo 3
Agora, precisamos visualizar a interseção desses três conjuntos. A região
será o conjunto de pontos que estão simultaneamente dentro do círculo
, abaixo das retas de
e acima da linha de
.
Para facilitar, vamos encontrar os pontos onde essas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção entre elas.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as retas que definem
e a linha que define
:
-
Igualando
a : Então, o ponto de interseção é. -
Igualando
a : Então, o outro ponto de interseção é.
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar os pontos de interseção entre as retas de
e o círculo
:
-
Substituindo
na equação do círculo : Então, os pontos de interseção sãoe .
Passo 6
Agora que temos todos os pontos de interseção, podemos visualizar a região
. Ela está limitada pelo círculo
, pelas retas de
e pela linha de
, formando uma espécie de “fatia” do círculo.
Passo 7
Para calcular a área dessa região, uma abordagem eficiente é usar a fórmula da área do setor circular e subtrair as áreas dos triângulos formados pelas interseções das retas.
Primeiro, vamos determinar o ângulo do setor. As retas de
formam um ângulo de 60 graus, ou
radianos.
A área do setor circular é dada por:
Passo 8
Em seguida, calculamos a área dos dois triângulos formados pelas retas de
e a linha de
. Cada triângulo tem base
(diâmetro do círculo) e altura
.
A área de um triângulo é:
Como são dois triângulos, a área total é
.
Passo 9
Agora, subtraímos a área dos triângulos da área do setor para encontrar a área da região
:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.