Prove que, se X e Y são dois subconjuntos de \mathbb{R} tais que \sup X>\inf Y, existem x \in X e y \in Y tais que y<x.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou deixar tudo bem claro).
  • Dado: X e Y são subconjuntos de \mathbb{R} tais que \sup X>\inf Y.
  • Pedido: provar que existem x\in X e y\in Y tais que y<x.

Passo 2

Entender o que significa \sup e \inf e uma propriedade útil deles (explicação passo a passo).
  • Definição (intuitiva e precisa): \sup X é o menor dos limites superiores (o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de X). \inf Y é o maior dos limites inferiores (o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de Y).
  • Propriedade importante (que vamos usar): se s=\sup X, então para todo \varepsilon>0 existe x\in X tal que
s-\varepsilon < x \le s.
Explicação por que isso vale: se não houvesse elemento de X maior que s-\varepsilon, então s-\varepsilon seria um limite superior de X menor que s, o que contradiz o fato de s ser o menor limite superior. Portanto existe tal x.
  • Análogo para \inf: se t=\inf Y, então para todo \delta>0 existe y\in Y tal que
t \le y < t+\delta.
Explicação análoga: se não existisse y<t+\delta, então t+\delta seria um limite inferior maior que t, contradizendo que t é o maior limite inferior.

Passo 3

Escolher um número intermediário entre \inf Y e \sup X.
  • Como \sup X > \inf Y, podemos tomar o ponto médio entre eles. Defina
m=\frac{\sup X + \inf Y}{2}.
  • Como média de dois números com \sup X>\inf Y, fica imediatamente
\inf Y < m < \sup X.
Isto é óbvio: m-\inf Y = (\sup X-\inf Y)/2>0 e \sup X-m=(\sup X-\inf Y)/2>0.

Passo 4

Usar a propriedade de \sup X para obter um x\in X maior que m.
  • Tome \varepsilon=\sup X - m. Então \varepsilon>0.
  • Pela propriedade do sup, existe x\in X com
\sup X - \varepsilon < x \le \sup X.
  • Mas \sup X - \varepsilon = m. Logo existe x\in X tal que
x>m.

Passo 5

Usar a propriedade de \inf Y para obter um y\in Y menor que m.
  • Tome \delta = m - \inf Y. Então \delta>0.
  • Pela propriedade do inf, existe y\in Y com
\inf Y \le y < \inf Y + \delta.
  • Mas \inf Y + \delta = m. Logo existe y\in Y tal que
y<m.

Passo 6

Concluir a desigualdade desejada.
  • Das desigualdades obtidas temos y<m<x. Portanto y<x.
  • Assim, provou-se que existem x\in X e y\in Y tais que y<x.

Passo 7

Um exemplo rápido para fixar a intuição.
  • Se X=(0,1) e Y=( -1,0{,}6), temos \sup X=1 e \inf Y=-1, então \sup X>\inf Y. O ponto médio é m=(1-1)/2=0. Pela construção existe x\in X com x>0 (por exemplo x=0{,}5) e y\in Y com y<0 (por exemplo y=-0{,}5), logo y<x.

Resposta

Existem x\in X e y\in Y tais que y<x.

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