Prove que, se
e
são dois subconjuntos de
tais que
, existem
e
tais que
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (vou deixar tudo bem claro).
- Dado:
e são subconjuntos de tais que . - Pedido: provar que existem
e tais que .
Passo 2
Entender o que significa
e
e uma propriedade útil deles (explicação passo a passo).
- Definição (intuitiva e precisa):
é o menor dos limites superiores (o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de ). é o maior dos limites inferiores (o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de ). - Propriedade importante (que vamos usar): se
, então para todo existe tal que
Explicação por que isso vale: se não houvesse elemento de
maior que
, então
seria um limite superior de
menor que
, o que contradiz o fato de
ser o menor limite superior. Portanto existe tal
.
- Análogo para
: se , então para todo existe tal que
Explicação análoga: se não existisse
, então
seria um limite inferior maior que
, contradizendo que
é o maior limite inferior.
Passo 3
Escolher um número intermediário entre
e
.
- Como
, podemos tomar o ponto médio entre eles. Defina
- Como média de dois números com
, fica imediatamente
Isto é óbvio:
e
.
Passo 4
Usar a propriedade de
para obter um
maior que
.
- Tome
. Então . - Pela propriedade do sup, existe
com
- Mas
. Logo existe tal que
Passo 5
Usar a propriedade de
para obter um
menor que
.
- Tome
. Então . - Pela propriedade do inf, existe
com
- Mas
. Logo existe tal que
Passo 6
Concluir a desigualdade desejada.
- Das desigualdades obtidas temos
. Portanto . - Assim, provou-se que existem
e tais que .
Passo 7
Um exemplo rápido para fixar a intuição.
- Se
e , temos e , então . O ponto médio é . Pela construção existe com (por exemplo ) e com (por exemplo ), logo .
Resposta
Existem
e
tais que
.