Dê exemplos de duas funções f e g satisfazendo:
lim x 0 f(x)g(x)=1 e lim x 0(f(x)-g(x)) neq 0?

Passo 1

O enunciado pede duas funções f e g tais que, quando xto0, o quociente f(x)g(x) tenda a 1, mas a diferença f(x)-g(x) não tenda a zero. Vamos usar o conceito de equivalência assintótica: se g(x)toinfty e f(x)=g(x)+L com Lneq0, então
f(x)g(x)=g(x)+Lg(x)=1+Lg(x)to1
e
f(x)-g(x)=Lneq0

Passo 2

Escolhemos como exemplo
g(x)=1x, f(x)=1x+1,
definidas em 0<x<de<a.

Passo 3

Verificamos o limite do quociente:
f(x)g(x) =1x+11x =1+x Longrightarrow limxto0 f(x)g(x)=1

Passo 4

Verificamos o limite da diferença:
f(x)-g(x) =l(1x+1r)-1x =1 Longrightarrow limxto0l(f(x)-g(x)r)=1neq0

Resposta

Um par de funções que satisfaz as condições é
f(x)=1x+1 e g(x)=1x,
pois limxto0f(x)/g(x)=1 e limxto0(f(x)-g(x))=1neq0.

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