Mostre pela definição que:
lim x 0^- 1x^3=-infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite infinito, que
limxto 0^-1x^3=-infty
O conteúdo aqui é a definição de limite para -infty: precisamos provar que, para todo M<0, existe de<a>0 tal que, se 0>x>-de<a, então 1/x^3<M.

Passo 2

Relembrando a definição: dizemos que
limxto 0^-f(x)=-infty
se, para todo número real M<0, existe de<a>0 tal que
0>x>-de<a Longrightarrow f(x)<M
No nosso caso, f(x)=1/x^3.

Passo 3

Seja dado um M<0. Queremos escolher de<a>0 de modo que
0>x>-de<a Longrightarrow 1x^3<M
Como x<0, escrevemos x=-|x| e então
1x^3 =-1|x|^3
Precisamos de
-1|x|^3<M ;Long<=ftrightarrow; 1|x|^3>-M ;Long<=ftrightarrow; |x|^3<1-M ;Long<=ftrightarrow; |x|<l(1-Mr)^!1/3
Logo, basta escolher
de<a =l(tfrac1-Mr)^!1/3

Passo 4

Com essa escolha, sempre que 0>x>-de<a temos |x|<de<a e portanto
1x^3 =-1|x|^3 <-1de<a^3 =-11/(-M) =M
Isto é exatamente a condição da definição para mostrar que 1/x^3<M.

Passo 5

Concluímos que, dado qualquer M<0, existe de<a>0 (em particular de<a=(1/(-M))^1/3) tal que 0>x>-de<a implica 1/x^3<M. Assim, pela definição de limite infinito,

Resposta

limxto 0^-1x^3=-infty

Exercícios relacionados