Verifique se cada uma das seguintes funções reais de variável real é contínua no(s) ponto(s) indicado(s):
g(x)=cl7 x+1, & se x <= 0 x+1, & se 0<x<3 -x-2, & se x >= 3 em x=0 e em x=3

Passo 1

O enunciado define a função
g(x) = 7x + 1, & x <= 0, x + 1, & 0 < x < 3, -,x - 2, & x >= 3,
e pede para verificar a continuidade em x=0 e em x=3. Vamos usar o critério de continuidade por meio de limites laterais e valor da função no ponto.

Passo 2

Definição de continuidade em a:
g é contínua em a se e somente se
limx to a^- g(x) ;=;limx to a^+ g(x);=;g(a)
Se uma dessas igualdades falhar, há descontinuidade em a.

Passo 3

Análise em x=0:
O valor da função é
g(0) = 7cdot0 + 1 = 1
O limite pela esquerda usa 7x+1:
limx to 0^- g(x) = limx to 0^- (7x+1) = 1
O limite pela direita usa x+1:
limx to 0^+ g(x) = limx to 0^+ (x+1) = 1
Como
limxto0^-g(x)=1=limxto0^+g(x)=g(0), a função é contínua em 0.

Passo 4

Análise em x=3:
O valor da função é
g(3) = -3 - 2 = -5
O limite pela esquerda vem de x+1:
limx to 3^- g(x) = limx to 3^- (x+1) = 4
O limite pela direita vem de -x-2:
limx to 3^+ g(x) = limx to 3^+ (-x-2) = -5
Aqui limxto3^-g(x)=4neq -5=limxto3^+g(x), portanto falta coincidência entre os limites laterais (e com g(3)). Logo, g é descontínua em 3.

Resposta

g é contínua em x=0 e descontínua em x=3.

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