Prove que a composta de dois polinômios é também um polinômio.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Provar que a composta de dois polinômios é também um polinômio.” Isso é Álgebra (polinômios) e a gente vai usar duas ideias principais:
  1. Definição de polinômio como soma de potências de com coeficientes.
  2. O fato de que soma e produto de polinômios continuam sendo polinômios (fechamento).

Passo 2

Primeiro, lembra da definição:
Um polinômio P(x)=anx^n + an-1x^n-1 + cdots + a1x + a0, de grau Q(x)=bmx^m + bm-1x^m-1 + cdots + b1x + b0 é
onde cada é um número (por exemplo real). Agora, seja outro polinômio
A composta significa que onde a gente tinha em , coloca .

Passo 3

Reparou que
Pl(Q(x)r) = anl(Q(x)r)^n + an-1l(Q(x)r)^n-1 + cdots + a1,Q(x) + a0
Então basta mostrar que é um polinômio para todo inteiro , e depois usar que somar e multiplicar polinômios gera polinômio.
  1. Caso : , que é um polinômio de grau 0.
  2. Hipótese de indução: suponha que é polinômio.
  3. Então . Produto de dois polinômios é polinômio (fechamento). Logo é polinômio.
    Isso fecha a indução: todo é polinômio.

Passo 4

Como cada termo anl(Q(x)r)^n + cdots + a0 é um coeficiente vezes um polinômio, continua polinômio. E a soma finita desses termos
é polinômio (fechamento em soma).

Resposta

Logo, a composta é de fato um polinômio.

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