Prove que a composta de dois polinômios é também um polinômio.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Provar que a composta de dois polinômios é também um polinômio.” Isso é Álgebra (polinômios) e a gente vai usar duas ideias principais:
- Definição de polinômio como soma de potências de
com coeficientes. - O fato de que soma e produto de polinômios continuam sendo polinômios (fechamento).
Passo 2
Primeiro, lembra da definição:
Um polinômio de grau
é
Um polinômio
onde cada
é um número (por exemplo real). Agora, seja outro polinômio
A composta
significa que onde a gente tinha
em
, coloca
.
Passo 3
Reparou que
Então basta mostrar que
é um polinômio para todo inteiro
, e depois usar que somar e multiplicar polinômios gera polinômio.
- Caso
: , que é um polinômio de grau 0. - Hipótese de indução: suponha que
é polinômio. - Então
. Produto de dois polinômios é polinômio (fechamento). Logo é polinômio.
Isso fecha a indução: todoé polinômio.
Passo 4
Como cada termo
é um coeficiente vezes um polinômio, continua polinômio. E a soma finita desses termos
é polinômio (fechamento em soma).
Resposta
Logo, a composta
é de fato um polinômio.