Prove que todo polinômio de grau par não é injetor.

Passo 1

Enunciado resumido: “Provar que qualquer polinômio de grau par não é injetor (ou seja, não é um-para-um).”
Conteúdo: polinômios, injetividade e monotonicidade, comportamento em ±∞.
O que a gente vai usar:
  1. Definição de função injetora e como injeção em ℝ contínuo implica função estritamente monótona.
  2. Como um polinômio de grau par se comporta quando x→+∞ e x→−∞.

Passo 2

Definição básica:
– Uma função f é injetora se f(x₁)=f(x₂) só quando x₁=x₂.
– Em ℝ, toda função contínua injetora precisa ser estritamente monótona (ou só cresce ou só decresce).
  • Estritamente crescente: x₁<x₂ ⇒ f(x₁)<f(x₂).
  • Estritamente decrescente: x₁<x₂ ⇒ f(x₁)>f(x₂).
Então, para mostrar que p(x) não é injetor basta provar que p(x) não pode ser nem só crescente nem só decrescente em todo ℝ.

Passo 3

Comportamento em ±∞ de polinômio de grau par:
Se p(x)=a_{2n} x^{2n}+…+a₀, com a_{2n}≠0 e 2n par, então
limxto+inftyp(x)=limxto-inftyp(x)= +infty,&se a2n>0, -infty,&se a2n<0
Ou seja, as duas “pontas” do gráfico de p vão para o mesmo infinito (mais infinito ou menos infinito).

Passo 4

Concluindo a partir do passo anterior:
– Se p fosse estritamente crescente, esperaríamos
e .
Mas vimos que as duas pontas vão pro mesmo sinal (+∞ ou −∞).
– Se p fosse estritamente decrescente, seria o inverso:
e .
Também não acontece.
Portanto p não é nem crescente nem decrescente no todo ℝ ⇒ p não é injetora.

Resposta

Todo polinômio de grau par tem limites iguais (±∞ com mesmo sinal) em x→+∞ e x→−∞, o que impede monotonicidade estrita. Como função contínua e injetora precisa ser estritamente monótona, concluímos que nenhum polinômio de grau par é injetor.

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