Prove que todo polinômio de grau par não é injetor.
Passo 1
Enunciado resumido: “Provar que qualquer polinômio de grau par não é injetor (ou seja, não é um-para-um).”
Conteúdo: polinômios, injetividade e monotonicidade, comportamento em ±∞.
O que a gente vai usar:
Conteúdo: polinômios, injetividade e monotonicidade, comportamento em ±∞.
O que a gente vai usar:
- Definição de função injetora e como injeção em ℝ contínuo implica função estritamente monótona.
- Como um polinômio de grau par se comporta quando x→+∞ e x→−∞.
Passo 2
Definição básica:
– Uma função f é injetora se f(x₁)=f(x₂) só quando x₁=x₂.
– Em ℝ, toda função contínua injetora precisa ser estritamente monótona (ou só cresce ou só decresce).
– Uma função f é injetora se f(x₁)=f(x₂) só quando x₁=x₂.
– Em ℝ, toda função contínua injetora precisa ser estritamente monótona (ou só cresce ou só decresce).
- Estritamente crescente: x₁<x₂ ⇒ f(x₁)<f(x₂).
- Estritamente decrescente: x₁<x₂ ⇒ f(x₁)>f(x₂).
Então, para mostrar que p(x) não é injetor basta provar que p(x) não pode ser nem só crescente nem só decrescente em todo ℝ.
Passo 3
Comportamento em ±∞ de polinômio de grau par:
Se p(x)=a_{2n} x^{2n}+…+a₀, com a_{2n}≠0 e 2n par, então
Se p(x)=a_{2n} x^{2n}+…+a₀, com a_{2n}≠0 e 2n par, então
Ou seja, as duas “pontas” do gráfico de p vão para o mesmo infinito (mais infinito ou menos infinito).
Passo 4
Concluindo a partir do passo anterior:
– Se p fosse estritamente crescente, esperaríamos
e
.
Mas vimos que as duas pontas vão pro mesmo sinal (+∞ ou −∞).
– Se p fosse estritamente decrescente, seria o inverso:
e
.
Também não acontece.
Portanto p não é nem crescente nem decrescente no todo ℝ ⇒ p não é injetora.
– Se p fosse estritamente crescente, esperaríamos
Mas vimos que as duas pontas vão pro mesmo sinal (+∞ ou −∞).
– Se p fosse estritamente decrescente, seria o inverso:
Também não acontece.
Portanto p não é nem crescente nem decrescente no todo ℝ ⇒ p não é injetora.
Resposta
Todo polinômio de grau par tem limites iguais (±∞ com mesmo sinal) em x→+∞ e x→−∞, o que impede monotonicidade estrita. Como função contínua e injetora precisa ser estritamente monótona, concluímos que nenhum polinômio de grau par é injetor.