Dê exemplos de:
Uma transformação linear de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R}^{5}.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de transformações lineares
\;T\colon \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{5}.
Para definir uma transformação linear basta especificar uma matriz 5\times4 ou uma regra de combinação linear de coordenadas que respeite
T(\alpha u + \beta v)=\alpha\,T(u)+\beta\,T(v).

Passo 2

Exemplo 1: transformação nula
Definimos
T_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) =(0,0,0,0,0).
Em termos de matriz,
A_{1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e T_{1}(x)=A_{1}x é obviamente linear.

Passo 3

Exemplo 2: inclusão das quatro primeiras coordenadas
Definimos
T_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) =(x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,0).
A matriz correspondente é
A_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e claramente T_{2}(x)=A_{2}x satisfaz linearidade.

Passo 4

Exemplo 3: combinação de coordenadas
Definimos
T_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) =(x_{1}+x_{2},\;x_{2}+x_{3},\;x_{3}+x_{4},\;x_{4}+x_{1},\;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}).
A matriz é
A_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
e T_{3}(x)=A_{3}x também é linear, pois cada componente é soma ponderada das x_{i}.

Resposta

T_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(0,0,0,0,0).
T_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},0).
T_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{1}+x_{2},\,x_{2}+x_{3},\,x_{3}+x_{4},\,x_{4}+x_{1},\,x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}).

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