Dê exemplos de:
Uma transformação linear de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede para darmos exemplos de transformações lineares de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^4. O conteúdo principal é a definição de transformação linear e a sua representação por matriz. Para resolver, vamos lembrar da propriedade de linearidade e em seguida construir exemplos concretos.

Passo 2

Uma aplicação T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem
T(u+v)=T(u)+T(v), \quad T(c\,u)=c\,T(u).
Em coordenadas, toda transformação linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^4 pode ser escrita como
T(x,y,z) =A \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},
onde A é uma matriz 4\times3.

Passo 3

Exemplo 1: a transformação zero
T_1(x,y,z)=(0,0,0,0).
Aqui claramente
T_1(u+v)=(0,0,0,0)=(0,0,0,0)+(0,0,0,0)=T_1(u)+T_1(v),
T_1(c\,u)=(0,0,0,0)=c\,(0,0,0,0)=c\,T_1(u),
logo T_1 é linear. Em termos de matriz,
A_1=\begin{pmatrix} 0&0&0\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Exemplo 2: uma transformação não trivial
T_2(x,y,z) =(\,x+2y-3z,\;4x,\;y-z,\;2y+5z\,).
Podemos representar T_2 pela matriz
A_2=\begin{pmatrix} 1&2&-3\\\\ 4&0&0\\\\ 0&1&-1\\\\ 0&2&5 \end{pmatrix},
pois
A_2\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot x+2\cdot y-3\cdot z\\\\ 4\cdot x+0\cdot y+0\cdot z\\\\ 0\cdot x+1\cdot y-1\cdot z\\\\ 0\cdot x+2\cdot y+5\cdot z \end{pmatrix} =(\,x+2y-3z,\;4x,\;y-z,\;2y+5z\,).
Como é produto de matriz por vetor, as propriedades de linearidade já estão garantidas.

Resposta

Exemplos de transformações lineares de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^4:
(a) T_1(x,y,z)=(0,0,0,0), dada pela matriz nula.
(b) T_2(x,y,z)=(x+2y-3z,\;4x,\;y-z,\;2y+5z), dada pela matriz
\begin{pmatrix} 1&2&-3\\\\ 4&0&0\\\\ 0&1&-1\\\\ 0&2&5 \end{pmatrix}.

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