Seja U=(x, y) in R^2 mid x>0, e seja F: U R^2 o campo F(x, y)=(1x-1x).
Demonstre que o campo F é conservativo e calcule sua função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o campo vetorial F dado é conservativo e encontrar sua função potencial. Estamos trabalhando no conjunto U = (x, y) in R^2 mid x > 0. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um campo ser conservativo e como encontrar sua função potencial usando cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial F = (P, Q) é conservativo se existe uma função escalar phi(x, y) tal que:
F = nabla phi = (partial phipartial x, partial phipartial y)
Ou seja, as componentes de F são as derivadas parciais de phi. Para verificar se F é conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais:
partial Qpartial x = partial Ppartial y

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo F. Pelo enunciado, temos:
F(x, y) = (1x, -1x)
Então,
P = 1x e Q = -1x

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(-1x) = 1x^2
partial Ppartial y = partialpartial y(1x) = 0
Comparando:
partial Qpartial x = 1x^2 e partial Ppartial y = 0
Como partial Qpartial x neq partial Ppartial y, inicialmente parece que o campo não é conservativo. Contudo, isso sugere que pode haver um erro na formulação do campo F. Vamos supor que o campo correto seja:
F(x, y) = (1x, 1x)
Vamos refazer as derivadas:

Passo 5

Com o campo ajustado F(x, y) = (1x, 1x), temos:
P = 1x e Q = 1x
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(1x) = -1x^2
partial Ppartial y = partialpartial y(1x) = 0
Ainda assim, partial Qpartial x neq partial Ppartial y, o que indica que o campo não é conservativo. Portanto, precisamos revisar o enunciado original para garantir a correta formulação do campo F.

Resposta

Aparentemente, há uma inconsistência no enunciado original do campo F. Com base nas informações fornecidas, o campo F(x, y) = (1x, -1x) não é conservativo, pois as derivadas parciais cruzadas não são iguais. Sugiro revisar o enunciado para confirmar as componentes corretas do campo vetorial.

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