Seja
, e seja
o campo
.
Demonstre que o campo
é conservativo e calcule sua função potencial.
Demonstre que o campo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o campo vetorial
dado é conservativo e encontrar sua função potencial. Estamos trabalhando no conjunto
. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um campo ser conservativo e como encontrar sua função potencial usando cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que:
Ou seja, as componentes de
são as derivadas parciais de
. Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo
. Pelo enunciado, temos:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Comparando:
Como
, inicialmente parece que o campo não é conservativo. Contudo, isso sugere que pode haver um erro na formulação do campo
. Vamos supor que o campo correto seja:
Vamos refazer as derivadas:
Passo 5
Com o campo ajustado
, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Ainda assim,
, o que indica que o campo não é conservativo. Portanto, precisamos revisar o enunciado original para garantir a correta formulação do campo
.
Resposta
Aparentemente, há uma inconsistência no enunciado original do campo
. Com base nas informações fornecidas, o campo
não é conservativo, pois as derivadas parciais cruzadas não são iguais. Sugiro revisar o enunciado para confirmar as componentes corretas do campo vetorial.