O enunciado pede pra gente verificar, em cada caso de (a) até (k), se a função é contínua e se é derivável no ponto dado. Vamos usar a definição de continuidade, que exige que o limite pelo ponto coincida com o valor da função, e a definição de derivada, que é o limite do quociente incremental.
Passo 2
Para (a) temos
f(x)=(x^2+x)cos1x,&xneq00,&x=0, x0=0
Continuidade: como lvert(x^2+x)cos(1/x)rvert<= |x^2+x| e x^2+xto0 quando xto0, segue que f(x)to0=f(0). Logo é contínua.
Derivabilidade: calculamos f'(0)=limxto0(x^2+x)cos(1/x)-0x=limxto0(x+1)cos(1/x)=não existe (oscila entre $-1$ e $+1$)ã
Logo não é derivável.
Passo 3
Para (b) temos
f(x)=x^3-xraizx-1,&x>11,&x<=1, x0=1
Verificamos o limite pelo lado direito: quando xto1^+, o numerador x^3-x=(x-1)(x^2+x+1) e o denominador raizx-1, então x^3-xraizx-1=(x^2+x+1)raizx-1to0
Mas f(1)=1, então limxto1^+f(x)=0neq1. Não é contínua, logo também não é derivável.
f(x)=x^2+sin x,&x>0x^5+4x^3,&x<00,&x=0, x0=0
Continuidade: limxto0^+(x^2+sin x)=0 e limxto0^-(x^5+4x^3)=0, coincide com f(0)=0, logo contínua.
Derivabilidade: a derivada lateral direita é f'+(0)=limxto0^+x^2+sin x-0x=limxto0^+(x+sin xx)=1,
e a lateral esquerda
f'-(0)=limxto0^-x^5+4x^3-0x=limxto0^-(x^4+4x^2)=0
Como não coincidem, não é derivável.
Passo 5
Para (d) temos
f(x)=tfrac45x^5,&x>1x^4,&x<=1, x0=1
Pelo lado direito f(1^+)=tfrac45 e f(1)=1, então não é contínua em 1 e tampouco é derivável.
Passo 6
Para (e) temos
f(x)=xsin1x,&xneq00,&x=0, x0=0
Como |xsin(1/x)|<=|x|to0, f(x)to0=f(0), é contínua. Mas f'(0)=limxto0xsin(1/x)x=limxto0sin(1/x)\nnão existe (oscila), então não é derivável.
Passo 7
Para (f) temos
f(x)=x^2sin1x,&xneq00,&x=0, x0=0
Continuidade: |x^2sin(1/x)|<= x^2to0, ok. Derivabilidade: f'(0)=limxto0x^2sin(1/x)x=limxto0xsin(1/x)=0
Logo existe derivada e vale 0.
Passo 8
Para (g) temos
f(x)=sin xx,&xneq01,&x=0, x0=0
Como limxto0sin x/x=1=f(0), é contínua. E f'(0)=limxto0sin xx-1x\nUsando série ou regra de L’Hôpital, dá 0. Então é derivável.
Passo 9
Para (h) temos
f(x)=sin(x^2)raizx^2+x^4,&xneq00,&x=0, x0=0
Para xto0, numerador sim x^2, denominador =|x|raiz1+x^2sim|x|, logo f(x)sim|x|to0=f(0). Contínua. Mas f'(0)=limxto0f(x)x=limxto0^+x^2x^2raiz1+x^2=1,
e pelo lado negativo dá -1. Não é derivável.
Passo 10
Para (i) temos f(x)=|sin x| em x0=0. Como sin xto0, é contínua. Porém
|sin x|xto1 se x>0e-1 se x<0,
logo não é derivável.
Passo 11
Para (j) temos f(x)=|sin(x^5)| em x0=0. Contínua pois sin(x^5)to0. E
|sin(x^5)|xsim|x^5||x|=x^4to0
em ambos os lados, então derivável e f'(0)=0.
Passo 12
Para (k) temos em f(x)=cos(raiz|x|). Contínua pois x0=0 implica raiz|x|to0. Mas