Dê exemplos de funções f e g tais que
lim x +infty f(x)g(x)=1 e lim x 0 f(x)-g(x) neq 0.

Passo 1

O enunciado pede dois exemplos de funções f e g tais que ao crescermos x até o infinito tenhamos
limxto+inftyf(x)g(x) = 1,
mas ao avaliarmos a diferença em x=0 não dê zero:
limxto0l(f(x)-g(x)r)neq 0

Passo 2

Uma escolha bem simples é usar funções lineares que diferem apenas por uma constante. Considere
f(x)=x+1, g(x)=x

Passo 3

Vamos verificar primeiro o limite da razão para xto+infty. Temos
f(x)g(x) =x+1x =1+1x,
e como 1xto0 quando xto+infty, conclui-se que
limxto+inftyf(x)g(x) = 1

Passo 4

Agora olhemos a diferença f(x)-g(x) em torno de x=0:
f(0)-g(0) = (0+1)-0 = 1 neq 0
Logo,
limxto0l(f(x)-g(x)r) = 1 neq 0

Resposta

Um exemplo é
f(x)=x+1, g(x)=x

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