Seja
uma função tal que
para todo
. Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado diz que existe
tal que, para todo
,
Pede-se
e
.
Vamos usar o teorema do confronto (squeeze theorem) para a primeira, e estudar o caráter oscilatório da segunda.
Vamos usar o teorema do confronto (squeeze theorem) para a primeira, e estudar o caráter oscilatório da segunda.
Passo 2
Calculamos os limites das funções que “encaram”
.
Para a função de baixo:
Para a função de baixo:
Para a função de cima, note que
e o termo
vai a zero:
Passo 3
Como
e ambos os limites dessas extremas valem
, pelo teorema do confronto segue
Passo 4
Definimos
Quando
, já sabemos que
. Porém o argumento da cosseno,
,
tende a , fazendo
oscilar entre
e
infinitas vezes.
Mais formalmente, existem sequências tais que
(dando
) e outras
com
(dando
).
Logo e
, mostrando que
não se aproxima de um único valor.
tende a
Mais formalmente, existem sequências
Logo