Seja f: R R uma função tal que 1+x^2+x^66 <= f(x) <= sec x^2+x^63 para todo x in R. Calcule lim x 0 f(x) e lim x 0 f(x) cos (1x^2+x).

Passo 1

O enunciado diz que existe fcolon RtoR tal que, para todo x,
1 + x^2 + x^66 ;<=; f(x);<=;secl(x^2r) + x^63
Pede-se limxto0f(x) e limxto0 f(x)cos!l(1x^2+xr).
Vamos usar o teorema do confronto (squeeze theorem) para a primeira, e estudar o caráter oscilatório da segunda.

Passo 2

Calculamos os limites das funções que “encaram” f.
Para a função de baixo:
limxto0l(1 + x^2 + tfracx^66r) =1 + 0 + 0 =1
Para a função de cima, note que sec(0)=1 e o termo x^6/3 vai a zero:
limxto0l(sec(x^2) + tfracx^63r) =sec(0)+0 =1

Passo 3

Como
1 + x^2 + tfracx^66 ;<=;f(x);<=;sec(x^2)+tfracx^63
e ambos os limites dessas extremas valem 1, pelo teorema do confronto segue
limxto0f(x)=1

Passo 4

Definimos
g(x)=f(x),cos!l(tfrac1x^2+xr)
Quando xto0, já sabemos que f(x)to1. Porém o argumento da cosseno,
tfrac1x^2+x=tfrac1x(x+1),
tende a pminfty, fazendo cos(dots) oscilar entre -1 e 1 infinitas vezes.
Mais formalmente, existem sequências xnto0 tais que
tfrac1xn^2+xn=2pi n (dando cos=1) e outras ynto0 com
tfrac1yn^2+yn=pi+2pi n (dando cos=-1).
Logo g(xn)to1 e g(yn)to-1, mostrando que g(x) não se aproxima de um único valor.

Resposta

limxto0f(x)=1.
limxto0f(x)cos!l(tfrac1x^2+xr) não existe.

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