Dê exemplos de matrizes A para as quais o número de soluções do sistema linear \mathrm{AX}=\mathrm{B} é:
Um para todo B.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz A tal que, para qualquer vetor coluna B, o sistema linear
A X = B
tenha exatamente uma solução. Isso pertence ao conteúdo de sistemas lineares e matrizes invertíveis. Para resolver, vamos lembrar o critério de existência e unicidade de solução: um sistema quadrado A X = B tem solução única para todo B se, e somente se, A for invertível (ou seja, \det(A)\neq0).

Passo 2

A definição crucial é:
A\text{ é invertível} \quad\Longleftrightarrow\quad \det(A)\neq0.éí
Quando A é invertível, existe A^{-1} e a única solução de A X = B é
X = A^{-1}B.
Logo, basta escolher qualquer matriz quadrada com determinante diferente de zero.

Passo 3

Agora damos exemplos concretos de matrizes invertíveis:
A = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 3 & 4 \end{pmatrix},
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 3 & 1\\\\ 4 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
Todas têm determinante não nulo e, portanto, para cada uma, o sistema A X = B admite exatamente uma solução para qualquer B.

Resposta

Um exemplo simples é
A = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
ou ainda
A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 3 & 4 \end{pmatrix},
ou qualquer outra matriz quadrada com \det(A)\neq0.

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