Dê exemplos de matrizes A para as quais o número de soluções do sistema linear \mathrm{AX}=\mathrm{B} é:
Um para todo B.
Passo 1
O enunciado pede uma matriz A tal que, para qualquer vetor coluna B, o sistema linear
A X = B
tenha exatamente uma solução. Isso pertence ao conteúdo de sistemas lineares e matrizes invertíveis. Para resolver, vamos lembrar o critério de existência e unicidade de solução: um sistema quadrado A X = B tem solução única para todo B se, e somente se, A for invertível (ou seja, \det(A)\neq0).
Passo 2
A definição crucial é:
A\text{ é invertível} \quad\Longleftrightarrow\quad \det(A)\neq0.
Quando A é invertível, existe A^{-1} e a única solução de A X = B é
X = A^{-1}B.
Logo, basta escolher qualquer matriz quadrada com determinante diferente de zero.
Passo 3
Agora damos exemplos concretos de matrizes invertíveis: