Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços Vetoriais:
S=\left\{\left[\begin{array}{ll}x & y \\\ z & t\end{array}\right] ; x-y-z=0\right\} \subset M_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o conjunto
S = \left\{ \begin{pmatrix}x & y \\\ z & t\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}) \;\middle|\; x - y - z = 0\right\}.
Queremos verificar se S é um subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}), isto é, se contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero \displaystyle O = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
pertence a S. Substituindo x=y=z=t=0 em x - y - z = 0 obtemos
0 - 0 - 0 = 0,
logo O\in S.

Passo 3

Fechamento sob adição. Se \displaystyle A=\begin{pmatrix}x_1 & y_1\z_1 & t_1\end{pmatrix}
e \displaystyle B=\begin{pmatrix}x_2 & y_2\z_2 & t_2\end{pmatrix}
estão em S, então
x_1 - y_1 - z_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2 - y_2 - z_2 = 0.
Para A+B temos
(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) - (z_1 + z_2) = (x_1 - y_1 - z_1) + (x_2 - y_2 - z_2) = 0 + 0 = 0,
portanto A+B\in S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e \displaystyle A=\begin{pmatrix}x & y\z & t\end{pmatrix}\in S
com x - y - z = 0. Então
(\alpha x) - (\alpha y) - (\alpha z) = \alpha\,(x - y - z) = \alpha\cdot 0 = 0,
logo \alpha A\in S.

Passo 5

Como S contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que S é subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

S é subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).

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