Uma fábrica de móveis produz mesas, cômodas e armários. Na fase do acabamento, cada mesa leva 10 minutos para ser lixada, 6 minutos para ser tingida e 14 minutos para ser envernizada. Cada cômoda leva 10 minutos para ser lixada, 9 minutos para ser tingida e 11 minutos para ser envernizada. Cada armário leva 15 minutos para ser lixado, 12 minutos para ser tingido e 18 minutos para ser envernizado. Diariamente são disponibilizadas duas horas e meia para a bancada de lixamento, duas horas para a bancada de tingimento e três horas para a bancada de envernizamento. O lucro unitário de mesa, cômoda e armário é respectivamente 80 , 60 e 100 reais.
a) Registre os dados numa tabela, e descreva o problema como um sistema de equações lineares.
b) Determine todas as possíveis soluções viáveis para o problema, ou seja, determine quantos móveis de cada tipo podem ser fabricados diariamente para utilizar plenamente a disponibilidade de tempo para cada etapa do acabamento?
c) Agora, oriente a produção diária de cada tipo de móvel para a fábrica, considerando que a Fábrica usa o mesmo tipo de madeira para a produção dos três tipos de móveis: mesa, cômoda e armário, e que a quantidade em \mathrm{m}^{3} de madeira na fabricação é dada pela razão 1:2:3 respectivamente. Além disso, deve-se ter disponibilidade dos três tipos de móveis para a exposição aos clientes.

Passo 1

O problema envolve decidir quantas mesas x, cômodas y e armários z produzir por dia de modo a utilizar integralmente as disponibilidades de tempo de lixamento (2 h 30 min =150 min), tingimento (2 h =120 min) e envernizamento (3 h =180 min). O lucro unitário é de R$80 para mesa, R$ 60 para cômoda e R$ 100 para armário. Precisaremos registrar esses dados em tabela e formular o sistema de equações lineares.

Passo 2

a) Tabela de tempos e lucros por unidade:
Móvel Lixamento (min) Tingimento (min) Envernizamento (min) Lucro unitário (R$)
Mesa 10 6 14 80
Cômoda 10 9 11 60
Armário 15 12 18 100
Variáveis de decisão:
x = \text{número de mesas},\quad y = \text{número de cômodas},\quad z = \text{número de armários}.úúôúá
Restrições de tempo diário:
10x + 10y + 15z = 150,
6x + 9y + 12z = 120,
14x + 11y + 18z = 180.

Passo 3

b) Para encontrar todas as soluções não-negativas que utilizem integralmente o tempo, simplificamos as duas primeiras equações dividindo por fatores comuns:
2x + 2y + 3z = 30,
2x + 3y + 4z = 40.
Subtraindo a primeira da segunda vem
y + z = 10 \quad\Longrightarrow\quad y = 10 - z.
Substituindo em 2x + 2y + 3z = 30:
2x + 2(10 - z) + 3z = 30 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 20 + z = 30 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 10 - z \quad\Longrightarrow\quad x = 5 - \tfrac{z}{2}.
Para x,y\ge0 e inteiros, z deve ser par e satisfazer 0\le z\le10.

Passo 4

Assim as soluções inteiras não-negativas são obtidas para z=0,2,4,6,8,10, com
(x,y,z) = \bigl(5 - \tfrac z2,\;10 - z,\;z\bigr).
Listando:
(5,\,10,\,0),\; (4,\,8,\,2),\; (3,\,6,\,4),\; (2,\,4,\,6),\; (1,\,2,\,8),\; (0,\,0,\,10).

Passo 5

c) Se quisermos respeitar a razão de madeira usada por unidade de móvel de 1:2:3 para (x,y,z) e ainda ter pelo menos um de cada móvel em exposição x,y,z>0, impomos
x : y : z = 1 : 2 : 3 \quad\Longrightarrow\quad (x,y,z) = (t,\,2t,\,3t).
Substituindo em 2x+2y+3z=30:
2t + 4t + 9t = 30 \quad\Longrightarrow\quad 15t = 30 \quad\Longrightarrow\quad t = 2.
Logo a produção diária deve ser
(x,y,z) = (2,\,4,\,6),
que satisfaz todas as restrições de tempo, respeita a razão de madeira e garante pelo menos um de cada móvel.

Resposta

a) Ver passo 2.
b) As soluções viáveis são (5,10,0), (4,8,2), (3,6,4), (2,4,6), (1,2,8) e (0,0,10).
c) Para respeitar a razão de madeira 1:2:3 e ter ao menos um de cada, produzir 2 mesas, 4 cômodas e 6 armários.

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