Uma fábrica de móveis produz mesas, cômodas e armários. Na fase do acabamento, cada mesa leva 10 minutos para ser lixada, 6 minutos para ser tingida e 14 minutos para ser envernizada. Cada cômoda leva 10 minutos para ser lixada, 9 minutos para ser tingida e 11 minutos para ser envernizada. Cada armário leva 15 minutos para ser lixado, 12 minutos para ser tingido e 18 minutos para ser envernizado. Diariamente são disponibilizadas duas horas e meia para a bancada de lixamento, duas horas para a bancada de tingimento e três horas para a bancada de envernizamento. O lucro unitário de mesa, cômoda e armário é respectivamente 80 , 60 e 100 reais.
a) Registre os dados numa tabela, e descreva o problema como um sistema de equações lineares.
b) Determine todas as possíveis soluções viáveis para o problema, ou seja, determine quantos móveis de cada tipo podem ser fabricados diariamente para utilizar plenamente a disponibilidade de tempo para cada etapa do acabamento?
c) Agora, oriente a produção diária de cada tipo de móvel para a fábrica, considerando que a Fábrica usa o mesmo tipo de madeira para a produção dos três tipos de móveis: mesa, cômoda e armário, e que a quantidade em
de madeira na fabricação é dada pela razão 1:2:3 respectivamente. Além disso, deve-se ter disponibilidade dos três tipos de móveis para a exposição aos clientes.
a) Registre os dados numa tabela, e descreva o problema como um sistema de equações lineares.
b) Determine todas as possíveis soluções viáveis para o problema, ou seja, determine quantos móveis de cada tipo podem ser fabricados diariamente para utilizar plenamente a disponibilidade de tempo para cada etapa do acabamento?
c) Agora, oriente a produção diária de cada tipo de móvel para a fábrica, considerando que a Fábrica usa o mesmo tipo de madeira para a produção dos três tipos de móveis: mesa, cômoda e armário, e que a quantidade em
Passo 1
O problema envolve decidir quantas mesas
, cômodas
e armários
produzir por dia de modo a utilizar integralmente as disponibilidades de tempo de lixamento (2 h 30 min
min), tingimento (2 h
min) e envernizamento (3 h
min). O lucro unitário é de R$80 para mesa, R$ 60 para cômoda e R$ 100 para armário. Precisaremos registrar esses dados em tabela e formular o sistema de equações lineares.
Passo 2
a) Tabela de tempos e lucros por unidade:
Móvel | Lixamento (min) | Tingimento (min) | Envernizamento (min) | Lucro unitário (R$) |
---|---|---|---|---|
Mesa |
|
|
|
|
Cômoda |
|
|
|
|
Armário |
|
|
|
|
Variáveis de decisão:
Restrições de tempo diário:
Passo 3
b) Para encontrar todas as soluções não-negativas que utilizem integralmente o tempo, simplificamos as duas primeiras equações dividindo por fatores comuns:
Subtraindo a primeira da segunda vem
Substituindo em
:
Para
e inteiros,
deve ser par e satisfazer
.
Passo 4
Assim as soluções inteiras não-negativas são obtidas para
, com
Listando:
Passo 5
c) Se quisermos respeitar a razão de madeira usada por unidade de móvel de
para
e ainda ter pelo menos um de cada móvel em exposição
, impomos
Substituindo em
:
Logo a produção diária deve ser
que satisfaz todas as restrições de tempo, respeita a razão de madeira e garante pelo menos um de cada móvel.
Resposta
a) Ver passo 2.
b) As soluções viáveis são ,
,
,
,
e
.
c) Para respeitar a razão de madeira e ter ao menos um de cada, produzir
mesas,
cômodas e
armários.
b) As soluções viáveis são
c) Para respeitar a razão de madeira