Dê exemplos de matrizes para as quais o número de soluções de é
0 ou 1 , dependendo de .
Passo 1
O enunciado pede exemplos de matrizes tais que o sistema tenha zero ou uma única solução, dependendo do vetor . O conteúdo é teoria de sistemas lineares: existência e unicidade de solução via posto de e espaço coluna. Vamos usar conceito de colunas linearmente independentes e verificar quando pertence ou não ao espaço gerado por essas colunas.
Passo 2
Para que nunca haja mais de uma solução, as colunas de devem ser linearmente independentes, isto é,
onde é o número de colunas. Nessa situação o espaço nulo de é trivial (), então, se o sistema for consistente, a solução é única.
Passo 3
Mesmo com , o sistema pode ser inconsistente quando não está no espaço coluna de . Logo:
– Se , não há solução.
– Se , existe exatamente uma solução.
Passo 4
Um exemplo concreto é uma matriz
O sistema , com , equivale a
Se , existe a única solução .
Resposta
Um exemplo de matriz cujas colunas são independentes e que produz 0 ou 1 soluções conforme b é
A = 1 & 0 0 & 1 0 & 0
Outra opção genérica é qualquer matriz mtimes n com m>n e rank(A)=n, por exemplo
A = 1 & 2 3 & 4 5 & 6 ,
pois suas colunas são independentes e o sistema Ax=b terá ou nenhuma solução (se bnotinIm(A)) ou solução única (se binIm(A)).