Dê exemplos de matrizes A para as quais o número de soluções de A x=b é
0 ou 1 , dependendo de b.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de matrizes A tais que o sistema Ax=b tenha zero ou uma única solução, dependendo do vetor b. O conteúdo é teoria de sistemas lineares: existência e unicidade de solução via posto de A e espaço coluna. Vamos usar conceito de colunas linearmente independentes e verificar quando b pertence ou não ao espaço gerado por essas colunas.

Passo 2

Para que nunca haja mais de uma solução, as colunas de A devem ser linearmente independentes, isto é,
rank(A)=n,
onde n é o número de colunas. Nessa situação o espaço nulo de A é trivial ( 0), então, se o sistema for consistente, a solução é única.

Passo 3

Mesmo com rank(A)=n, o sistema pode ser inconsistente quando b não está no espaço coluna de A. Logo:
– Se bnotinIm(A), não há solução.
– Se binIm(A), existe exatamente uma solução.

Passo 4

Um exemplo concreto é uma matriz
O sistema , com , equivale a
Se , existe a única solução .

Resposta

Um exemplo de matriz cujas colunas são independentes e que produz 0 ou 1 soluções conforme b é
A = 1 & 0 0 & 1 0 & 0
Outra opção genérica é qualquer matriz mtimes n com m>n e rank(A)=n, por exemplo
A = 1 & 2 3 & 4 5 & 6 ,
pois suas colunas são independentes e o sistema Ax=b terá ou nenhuma solução (se bnotinIm(A)) ou solução única (se binIm(A)).

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