Se
tem infinitas soluções, por que é impossível para
(novo lado direito) ter apenas uma solução?
poderia não ter solução?
Passo 1
O enunciado diz que o sistema
tem infinitas soluções. Isso significa que o núcleo (nullspace) de
não é trivial, ou seja, existem vetores não-nulos
tais que
O conteúdo aqui é a decomposição da solução geral de um sistema linear em parte particular mais parte homogênea.
Passo 2
Como
para algum
, o espaço das soluções do homogêneo
tem dimensão
. Logo, se
é qualquer solução de um sistema não homogêneo, podemos gerar infinitas soluções da forma
para todo escalar
.
Passo 3
Suponha agora que o sistema
tenha uma solução particular
. Então, para qualquer
,
Isto mostra que, se ao menos uma solução existe, na verdade existem infinitas. Portanto é impossível que haja exatamente uma solução.
Passo 4
O sistema
pode não ter solução se
não estiver no espaço coluna de
. Em outras palavras, se não existe nenhum
tal que
, dizemos que o sistema é inconsistente.
Resposta
É impossível ter uma única solução em
porque o núcleo de
é não trivial, de modo que qualquer solução particular gera uma família infinita. E sim:
pode não ter solução caso
não pertença ao espaço coluna de
.