Se A x=b tem infinitas soluções, por que é impossível para A x=c (novo lado direito) ter apenas uma solução? A x=c poderia não ter solução?

Passo 1

O enunciado diz que o sistema
A x = b
tem infinitas soluções. Isso significa que o núcleo (nullspace) de A não é trivial, ou seja, existem vetores não-nulos v tais que
A v = 0
O conteúdo aqui é a decomposição da solução geral de um sistema linear em parte particular mais parte homogênea.

Passo 2

Como A v = 0 para algum vneq0, o espaço das soluções do homogêneo
A x = 0
tem dimensão >=1. Logo, se xp é qualquer solução de um sistema não homogêneo, podemos gerar infinitas soluções da forma
x = xp + t,v,
para todo escalar t.

Passo 3

Suponha agora que o sistema
A x = c
tenha uma solução particular x0. Então, para qualquer tinR,
A(x0 + t,v) = A x0 + t,A v = c + tcdot 0 = c
Isto mostra que, se ao menos uma solução existe, na verdade existem infinitas. Portanto é impossível que haja exatamente uma solução.

Passo 4

O sistema A x = c pode não ter solução se c não estiver no espaço coluna de A. Em outras palavras, se não existe nenhum x tal que A x=c, dizemos que o sistema é inconsistente.

Resposta

É impossível ter uma única solução em A x = c porque o núcleo de A é não trivial, de modo que qualquer solução particular gera uma família infinita. E sim: A x = c pode não ter solução caso c não pertença ao espaço coluna de A.

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