Dê exemplos de polinômios satisfazendo os pedidos de cada item. Tente encontrar vários exemplos para cada item variando os gráficos das funções polinomiais.
grau 3, apenas 1 raiz;
grau 3, apenas 1 raiz;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dar exemplos de polinômios de grau 3 que têm apenas 1 raiz real. Isso cai no conteúdo de funções polinomiais e raízes de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar se um polinômio de terceiro grau tem uma única raiz real e construir exemplos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 3, também chamado de cúbico, sempre tem três raízes, mas elas podem ser todas reais ou uma real e duas complexas. Quando temos apenas 1 raiz real, as outras duas são números complexos (não aparecem no gráfico).
Passo 3
Para garantir que o polinômio cúbico tenha apenas uma raiz real, podemos utilizar o discriminante do polinômio. O discriminante ajuda a determinar a natureza das raízes. Para um polinômio cúbico da forma:
O discriminante $ \Delta $ é dado por:
Se $ \Delta < 0 $, o polinômio tem uma raiz real e duas raízes complexas.
Passo 4
Agora, vamos construir alguns exemplos de polinômios cúbicos que atendem a esse critério. Vamos escolher coeficientes que façam o discriminante negativo.
Exemplo 1:
Escolhemos $ a = 1 $, $ b = 0 $, $ c = 0 $, $ d = 1 $:
Calculando o discriminante:
Como $ \Delta = -27 < 0 $, tem apenas 1 raiz real.
Exemplo 2:
Escolhemos $ a = 2 $, $ b = 3 $, $ c = 1 $, $ d = 5 $:
Calculando o discriminante:
Como $ \Delta = -1349 < 0 $, tem apenas 1 raiz real.
Exemplo 3:
Escolhemos $ a = 1 $, $ b = -2 $, $ c = 4 $, $ d = 8 $:
Calculando o discriminante:
Como $ \Delta = -2832 < 0 $, tem apenas 1 raiz real.
Resposta
Então, exemplos de polinômios de grau 3 com apenas 1 raiz real são:
- $ f(x) = x^3 + 1 $
- $ f(x) = 2x^3 + 3x^2 + x + 5 $
- $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 8 $
Todos esses polinômios têm um único ponto onde cruzam o eixo x, indicando uma única raiz real.