Dê exemplos de polinômios satisfazendo os pedidos de cada item. Tente encontrar vários exemplos para cada item variando os gráficos das funções polinomiais.
grau 4, 3 raízes distintas;

Passo 1

O enunciado pede polinômios de grau 4 que tenham exatamente 3 raízes distintas. Ou seja, precisamos de 3 valores de x que zere o polinômio, sendo que um deles deve ter multiplicidade 2 para totalizar grau 4.

Passo 2

Para ter 3 raízes distintas e grau 4, escolhemos três raízes a, b, c e atribuiremos multiplicidade 2 a uma delas. O polinômio genérico fica assim:
p(x) = k,(x - a)^2,(x - b),(x - c)
onde k ≠ 0 é o coeficiente líder, e a, b, c são três números diferentes.

Passo 3

Basta agora escolher valores concretos para a, b, c e k, variando o sinal de k ou as raízes para obter gráficos diferentes. A seguir alguns exemplos:

Passo 4

Exemplo 1: escolha a=1 (mult. 2), b=2, c=3 e k=1. Então
p1(x) = (x - 1)^2,(x - 2),(x - 3)
Exemplo 2: escolha a=0 (mult. 2), b=1, c=-2 e k=1. Então
p2(x) = x^2,(x - 1),(x + 2)
Exemplo 3: escolha a=-1 (mult. 2), b=3, c=4 e k=-2 para inverter o sinal da concavidade no infinito. Então
p3(x) = -2,(x + 1)^2,(x - 3),(x - 4)

Resposta

Alguns exemplos de polinômios de grau 4 com exatamente 3 raízes distintas são:
  1. p1(x) = (x - 1)^2,(x - 2),(x - 3)
  2. p2(x) = x^2,(x - 1),(x + 2)
  3. p3(x) = -2,(x + 1)^2,(x - 3),(x - 4)
Em cada caso há 3 raízes distintas, sendo uma delas dupla, totalizando grau 4.

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