Dê exemplos de polinômios satisfazendo os pedidos de cada item. Tente encontrar vários exemplos para cada item variando os gráficos das funções polinomiais.
grau 4, 2 raízes distintas;
grau 4, 2 raízes distintas;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é dar exemplos de polinômios que são de grau 4 e que têm 2 raízes distintas. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre polinômios e suas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um polinômio de grau 4. Um polinômio de grau 4 tem a forma geral:
onde a é diferente de zero.
Passo 3
Agora, sobre as raízes do polinômio: elas são os valores de x que fazem com que $ P(x) = 0 $. Ter 2 raízes distintas significa que a equação $ P(x) = 0 $ tem duas soluções diferentes.
Passo 4
Como o polinômio é de grau 4, segundo o Teorema Fundamental da Álgebra, ele pode ter até 4 raízes (considerando multiplicidade). Então, se queremos apenas 2 raízes distintas, isso significa que cada uma dessas raízes deve ter multiplicidade 2. Ou seja, cada raiz aparece duas vezes.
Passo 5
Vamos escolher duas raízes distintas para facilitar. Por exemplo, vamos dizer que as raízes são $ x = 1 $ e $ x = -2 $. Então, o polinômio pode ser fatorado da seguinte forma:
Aqui, o expoente 2 indica que cada raiz tem multiplicidade 2.
Passo 6
Agora, podemos escolher diferentes valores para o coeficiente a para gerar diferentes exemplos. Lembrando que a não pode ser zero.
Passo 7
Vamos criar alguns exemplos variando o valor de a:
-
Exemplo 1: $ a = 1 $
-
Exemplo 2: $ a = 2 $
-
Exemplo 3: $ a = -1 $
Cada um desses polinômios tem grau 4 e exatamente 2 raízes distintas.
Resposta
Alguns exemplos de polinômios de grau 4 com 2 raízes distintas são:
- $ P(x) = (x - 1)^2(x + 2)^2 $
- $ P(x) = 2(x - 1)^2(x + 2)^2 $
- $ P(x) = -1(x - 1)^2(x + 2)^2 $
Cada um desses polinômios tem grau 4 e possui as raízes $ x = 1 $ e $ x = -2 $, cada uma com multiplicidade 2.