Dê exemplos de polinômios satisfazendo os pedidos de cada item. Tente encontrar vários exemplos para cada item variando os gráficos das funções polinomiais.
grau 4, 2 raízes distintas;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é dar exemplos de polinômios que são de grau 4 e que têm 2 raízes distintas. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre polinômios e suas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um polinômio de grau 4. Um polinômio de grau 4 tem a forma geral:
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
onde a é diferente de zero.

Passo 3

Agora, sobre as raízes do polinômio: elas são os valores de x que fazem com que $ P(x) = 0 $. Ter 2 raízes distintas significa que a equação $ P(x) = 0 $ tem duas soluções diferentes.

Passo 4

Como o polinômio é de grau 4, segundo o Teorema Fundamental da Álgebra, ele pode ter até 4 raízes (considerando multiplicidade). Então, se queremos apenas 2 raízes distintas, isso significa que cada uma dessas raízes deve ter multiplicidade 2. Ou seja, cada raiz aparece duas vezes.

Passo 5

Vamos escolher duas raízes distintas para facilitar. Por exemplo, vamos dizer que as raízes são $ x = 1 $ e $ x = -2 $. Então, o polinômio pode ser fatorado da seguinte forma:
x = 1
Aqui, o expoente 2 indica que cada raiz tem multiplicidade 2.

Passo 6

Agora, podemos escolher diferentes valores para o coeficiente a para gerar diferentes exemplos. Lembrando que a não pode ser zero.

Passo 7

Vamos criar alguns exemplos variando o valor de a:
  1. Exemplo 1: $ a = 1 $
    a = 1
  2. Exemplo 2: $ a = 2 $
    P(x) = (x - 1)^2(x + 2)^2
  3. Exemplo 3: $ a = -1 $
    a = 2
Cada um desses polinômios tem grau 4 e exatamente 2 raízes distintas.

Resposta

Alguns exemplos de polinômios de grau 4 com 2 raízes distintas são:
  1. $ P(x) = (x - 1)^2(x + 2)^2 $
  2. $ P(x) = 2(x - 1)^2(x + 2)^2 $
  3. $ P(x) = -1(x - 1)^2(x + 2)^2 $
Cada um desses polinômios tem grau 4 e possui as raízes $ x = 1 $ e $ x = -2 $, cada uma com multiplicidade 2.

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