Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo. OBS: Considere N(A) como a nulidade de A e p(A) como o posto de A.
\mathrm{G}_{4} \times_{3}, \mathrm{~N}(\mathrm{G})=0

Passo 1

O enunciado pede exemplos (se possível) de matrizes G que satisfaçam duas condições:
  • G tem formato 4\times3 (quatro linhas e três colunas);
  • \;N(G)=0 (a nulidade de G é zero).
Informações relevantes dadas:
  • O número de colunas de G é n=3.
  • A nulidade N(G) é a dimensão do núcleo (espaço solução de Gx=0).

Passo 2

Definições e ferramenta principal (explicada devagarinho):
  • O posto p(G) é a dimensão da imagem (espaço gerado pelas colunas de G), isto é, o número de colunas linearmente independentes.
  • A nulidade N(G) é a dimensão do núcleo, isto é, o número de variáveis livres na equação Gx=0.
  • Teorema posto–nulidade (fórmula que liga os dois): para uma matriz m\times n,
p(G)+N(G)=n.
Aqui n é o número de colunas. No nosso caso n=3.
Aplicando ao problema: como N(G)=0, então
p(G)=n-N(G)=3-0=3.
Ou seja, G deve ter posto 3. Como o posto máximo possível para uma matriz 4\times3 é 3, isso significa que as três colunas de G precisam ser linearmente independentes (não pode haver combinação linear não-trivial que dê o vetor zero).
Formas práticas de garantir/verificar isso:
  • Mostrar que existe um subdeterminante 3\times3 (formado por 3 linhas) com determinante não nulo; isso já garante posto 3.
  • Ou mostrar diretamente que a única solução de Gx=0 é x=0 (ou seja, as colunas são independentes).
  • Ou reduzir a matriz para a forma escalonada por linhas (RREF) e verificar que há pivôs em todas as 3 colunas.

Passo 3

Exemplo simples e muito transparente (colunas são os três primeiros vetores da base estendidos):
Considere
G_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Verificação passo a passo de que N(G_1)=0:
  • As colunas são c_1=(1,0,0,0)^T, c_2=(0,1,0,0)^T, c_3=(0,0,1,0)^T.
  • Suponha que exista combinação linear a c_1 + b c_2 + c c_3 = 0. Olhando nas primeiras três coordenadas obtemos a=0,\quad b=0,\quad c=0.Logo a única combinação que dá zero é a trivial.
  • Portanto as três colunas são linearmente independentes, isto é p(G_1)=3.
  • Aplicando p(G)+N(G)=3 obtemos N(G_1)=0.
Observação prática: a submatriz 3\times3 formada pelas três primeiras linhas é a identidade, cujo determinante é 1\neq0; isso já garante posto 3.]

Passo 4

Exemplo com entradas não-triviais (para ficar mais parecido com problemas de prova):
Considere
G_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 5 & 6 & 7 \end{pmatrix}.
Verificação por combinação linear (passo a passo):
  • Escreva colunas c_1=(1,0,0,5)^T\), \(c_2=(2,1,0,6)^T\), \(c_3=(3,4,1,7)^T\). - Suponha \(a c_1 + b c_2 + c c_3 = 0\). Isso gera o sistema (vez por vez nas coordenadas) \[\begin{cases} a + 2b + 3c = 0,\\[4pt] 0a + 1b + 4c = 0,\\[4pt] 0a + 0b + 1c = 0,\\[4pt] 5a + 6b + 7c = 0. \end{cases}
  • Da terceira equação vem c=0\]. - Substituindo na segunda obtemos \(b+4\cdot 0=0\Rightarrow b=0.
    - Substituindo na primeira obtemos a+2\cdot 0+3\cdot 0=0\Rightarrow a=0.
    - Logo a única solução é a=b=c=0: as colunas são independentes e p(G_2)=3.
    - Assim N(G_2)=3-3=0.
Outra verificação rápida: a submatriz 3\times3 formada pelas três primeiras linhas é triangular superior com diagonal (1,1,1), determinante 1\neq0, logo posto 3.]

Passo 5

Dica prática para montar respostas rápidas na prova:
  • Escolha qualquer três vetores de \mathbb{R}^4 que sejam linearmente independentes e use-os como colunas. Um modo seguro é tomar uma submatriz 3\times3 (algumas linhas) que seja invertível (determinante não nulo): isso garante posto 3.
  • Para checar rapidez: reduza por linhas até encontrar pivôs em todas as três colunas ou calcule o determinante de um 3\times3 menor aplicável.
Força aí — com essas estratégias dá para construir muitos exemplos e checar rápido que N(G)=0.

Resposta

G_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
G_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 5 & 6 & 7 \end{pmatrix}]

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