Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo.
OBS: N(X) e p(X) denotam a nulidade e o posto da matriz X, respectivamente.
D2 times 3, N(D)=2;

Passo 1

O enunciado pede uma matriz D de tamanho 2times3 tal que a nulidade N(D)=2. Pelo Teorema da Dimensão (Teorema da Núcleo e Imagem), temos
N(D)+p(D)=número de colunas=3 ú
Como queremos N(D)=2, segue que
p(D)=3-2=1
Ou seja, basta dar exemplos de matrizes 2times3 de posto 1.

Passo 2

Uma matriz de posto 1 tem todas as linhas (ou colunas) proporcionais. Por exemplo, podemos escolher a segunda linha como múltiplo da primeira. Considere
D= 1 & 2 & 3 2 & 4 & 6
Aqui a segunda linha é 2 vezes a primeira, logo p(D)=1 e, pela relação N(D)=3-p(D), segue N(D)=2.

Passo 3

Para ver explicitamente que
A segunda equação é redundante. Sobram duas variáveis livres (por exemplo ), confirmando .

Passo 4

Um outro exemplo ainda mais simples é zerar uma linha inteira:
D'= 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Claramente p(D')=1 (há uma linha não-nula) e, portanto, N(D')=3-1=2.

Resposta

Exemplos de matrizes 2times3 com N(D)=2:
1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 , 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0

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