Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo.
OBS:
e
denotam a nulidade e o posto da matriz
, respectivamente.
;
Passo 1
O enunciado pede uma matriz
de tamanho
tal que a nulidade
. Pelo Teorema da Dimensão (Teorema da Núcleo e Imagem), temos
Como queremos
, segue que
Ou seja, basta dar exemplos de matrizes
de posto
.
Passo 2
Uma matriz de posto
tem todas as linhas (ou colunas) proporcionais. Por exemplo, podemos escolher a segunda linha como múltiplo da primeira. Considere
Aqui a segunda linha é
2 vezes a primeira, logo
p(D)=1 e, pela relação
N(D)=3-p(D) , segue
N(D)=2 .
Passo 3
Para ver explicitamente que
A segunda equação é redundante. Sobram duas variáveis livres (por exemplo ), confirmando
.
Passo 4
Um outro exemplo ainda mais simples é zerar uma linha inteira:
Claramente
p(D')=1 (há uma linha não-nula) e, portanto,
N(D')=3-1=2 .
Resposta
Exemplos de matrizes
2times3 com
N(D)=2 :