Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais:
(g) O conjunto fixada.
(g) O conjunto fixada.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial ambientado como
, o conjunto de todas as matrizes
sobre um corpo (por exemplo
ou
), com as operações usuais de soma e multiplicação escalar. O subconjunto em questão é
onde
é uma matriz
fixa e
é a matriz nula. Para mostrar que
é um espaço vetorial, basta verificar que ele é um subespaço de
, isto é:
- contém o vetor zero;
- é fechado sob soma;
- é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificar que a matriz zero
pertence a
. De fato,
logo
.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma. Se
, então
Somando essas igualdades, vem
logo
.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação escalar. Se
e
é um escalar, então
logo
.
Resposta
Sim. O conjunto
é um subespaço de
(é exatamente o núcleo da transformação linear
dada por
) e portanto é um espaço vetorial.