Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais:
(g) O conjunto fixada.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial ambientado como Mn, o conjunto de todas as matrizes ntimes n sobre um corpo (por exemplo R ou C), com as operações usuais de soma e multiplicação escalar. O subconjunto em questão é
S = ,B in Mn mid A,B = 0,
onde A é uma matriz ntimes n fixa e 0 é a matriz nula. Para mostrar que S é um espaço vetorial, basta verificar que ele é um subespaço de Mn, isto é:
  1. contém o vetor zero;
  2. é fechado sob soma;
  3. é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar que a matriz zero 0in Mn pertence a S. De fato,
Acdot 0 = 0,
logo 0in S.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Se B1,B2in S, então
A,B1 = 0 e A,B2 = 0
Somando essas igualdades, vem
A,(B1 + B2) = A,B1 + A,B2 = 0 + 0 = 0,
logo B1 + B2in S.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar. Se Bin S e alpha é um escalar, então
A,(alpha B) = alpha,(A,B) = alphacdot 0 = 0,
logo alpha Bin S.

Resposta

Sim. O conjunto
S=,Bin Mnmid A,B=0
é um subespaço de Mn (é exatamente o núcleo da transformação linear Tcolon Mnto Mn dada por T(B)=A,B) e portanto é um espaço vetorial.

Exercícios relacionados