Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo.
OBS: N(X) e p(X) denotam a nulidade e o posto da matriz X, respectivamente.
E4 times 3, N(E)=0;

Passo 1

O enunciado pede uma matriz E de tamanho 4times3 tal que sua nulidade seja zero, ou seja,
N(E)=dimker(E)=0
Isso faz parte de Álgebra Linear, mais especificamente do Teorema da Dimensão (ou Rank–Nullity), que relaciona a dimensão do núcleo (nulidade) com o posto da matriz.

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão temos
dimker(E)+rank(E)=número de colunas=3ú
Como queremos dimker(E)=0, segue que
rank(E)=3
Logo, precisamos de uma matriz 4times3 de posto máximo, ou seja, cujas três colunas sejam linearmente independentes em R^4.

Passo 3

Uma escolha simples é pegar as três primeiras linhas formando a matriz identidade I3 e completar com uma linha de zeros. Assim as colunas são independentes e o posto fica igual a 3. Por exemplo:
E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Nesse caso, a única solução de E x=0 é x=0, logo ker(E)=0 e N(E)=0.

Resposta

E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

Exercícios relacionados