Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo.
OBS: N(X) e p(X) denotam a nulidade e o posto da matriz X, respectivamente.
G3 times 3, p(G)=2.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de matriz G de ordem 3times3 tal que o posto de G, denotado por p(G), valha 2. Para isso vamos usar o conceito de posto (dimensão do espaço gerado pelas colunas ou pelas linhas) e o Teorema da Dimensão (post o+nulidade = número de colunas).

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão, para uma matriz 3times3 vale
p(G)+N(G)=3,
onde N(G) é a nulidade (dimensão do núcleo). Se queremos p(G)=2, então necessariamente
N(G)=3-2=1
Isso significa que as três colunas de G não podem ser todas independentes, mas pelo menos duas delas devem ser independentes.

Passo 3

Basta escolher duas colunas independentes e fazer a terceira coluna ser combinação linear das anteriores. Por exemplo:
G = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0
Aqui as duas primeiras colunas são claramente independentes (formam a base canônica em R^2), e a terceira coluna é soma das duas primeiras. Logo as colunas geram um espaço de dimensão 2, ou seja,
p(G)=2
e por consequência N(G)=1.

Resposta

Um exemplo de matriz 3times3 com p(G)=2 é
G = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 ,
pois suas duas primeiras colunas são independentes e a terceira é combinação linear delas.

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