Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo.
OBS: e denotam a nulidade e o posto da matriz , respectivamente. .
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de matriz de ordem tal que o posto de , denotado por , valha . Para isso vamos usar o conceito de posto (dimensão do espaço gerado pelas colunas ou pelas linhas) e o Teorema da Dimensão (postulidade número de colunas).
Passo 2
Pelo Teorema da Dimensão, para uma matriz vale
onde é a nulidade (dimensão do núcleo). Se queremos , então necessariamente
Isso significa que as três colunas de não podem ser todas independentes, mas pelo menos duas delas devem ser independentes.
Passo 3
Basta escolher duas colunas independentes e fazer a terceira coluna ser combinação linear das anteriores. Por exemplo:
Aqui as duas primeiras colunas são claramente independentes (formam a base canônica em R^2), e a terceira coluna é soma das duas primeiras. Logo as colunas geram um espaço de dimensão 2, ou seja,
p(G)=2
e por consequência N(G)=1.
Resposta
Um exemplo de matriz 3times3 com p(G)=2 é
G = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 ,
pois suas duas primeiras colunas são independentes e a terceira é combinação linear delas.