Exemplos 6:
Passo 1
Temos duas funções dadas e a tarefa é, para cada uma, calcular a derivada
. As funções e as informações fornecidas são:
Perguntas claras: encontrar
para cada uma das funções acima. Informações relevantes: coeficientes (
e
), potências inteiras e raízes representadas na forma de radical.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicada passo a passo): a regra do poder (power rule). Se temos uma função na forma
onde
é um número constante,
é um número real e
é a variável, então a derivada é
O que isso significa: multiplicamos o coeficiente
pelo expoente
, e diminuímos o expoente em uma unidade (subtraímos
). Exemplo rápido: se
então
. Isso é só aplicar a mesma ideia nas funções dadas.
Passo 3
Aplicando a regra do poder à primeira função
:
Agora calculemos os valores numéricos e o novo expoente:
Explicação: multiplicamos o coeficiente
por
para obter
, e subtraímos
do expoente
para obter
.
Passo 4
Para a segunda função, primeiro reescrevemos o radical como potência fracionária (isso facilita usar a regra do poder). Lembrando que a raíz
-ésima transforma-se em potência
; no caso:
Portanto a função pode ser escrita como
Passo 5
Agora aplicamos a regra do poder a
. Usando
e
,
Calculemos o coeficiente e o novo expoente separadamente:
. E o expoente
. Logo
Passo 6
Interpretando o resultado com radical (forma que fica mais familiar):
. Assim podemos escrever
Observação importante sobre domínio: essa expressão está bem definida para
. Na verdade, a função original
é igual a
, que tem comportamento pontiagudo em
; por isso a derivada não existe em
. Para
a expressão
descreve corretamente a derivada.
Passo 7
Checagem rápida em um ponto fácil, por segurança: para
, da fórmula obtemos
. Se calcularmos diretamente a partir de
e aplicarmos a ideia de variação infinitesimal, obtemos o mesmo valor em
. Assim a fórmula parece consistente.