Exemplos 6:
f(x)=-2 x^{5} \Rightarrow f^{\prime}(x)=
f(x)=12 \sqrt[3]{x^{2}} \quad \Rightarrow f^{\prime}(x)=

Passo 1

Temos duas funções dadas e a tarefa é, para cada uma, calcular a derivada f'(x). As funções e as informações fornecidas são:
f(x) = -2 x^{5}
f(x) = 12 \sqrt[3]{x^{2}}
Perguntas claras: encontrar f'(x) para cada uma das funções acima. Informações relevantes: coeficientes ( -2 e 12), potências inteiras e raízes representadas na forma de radical.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicada passo a passo): a regra do poder (power rule). Se temos uma função na forma
f(x)=a x^{n},
onde a é um número constante, n é um número real e x é a variável, então a derivada é
f'(x)=a\cdot n \, x^{n-1}.
O que isso significa: multiplicamos o coeficiente a pelo expoente n, e diminuímos o expoente em uma unidade (subtraímos 1). Exemplo rápido: se g(x)=3x^{4} então g'(x)=3\cdot4\,x^{3}=12x^{3}. Isso é só aplicar a mesma ideia nas funções dadas.

Passo 3

Aplicando a regra do poder à primeira função \,f(x)=-2 x^{5}\,:
f'(x) = -2 \cdot 5 \, x^{5-1}.
Agora calculemos os valores numéricos e o novo expoente:
f'(x) = -10 \, x^{4}.
Explicação: multiplicamos o coeficiente -2 por 5 para obter -10, e subtraímos 1 do expoente 5 para obter 4.

Passo 4

Para a segunda função, primeiro reescrevemos o radical como potência fracionária (isso facilita usar a regra do poder). Lembrando que a raíz n-ésima transforma-se em potência 1/n; no caso:
\sqrt[3]{x^{2}} = x^{2/3}.
Portanto a função pode ser escrita como
f(x)=12 x^{2/3}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do poder a f(x)=12 x^{2/3}. Usando a=12 e n=2/3,
f'(x)=12 \cdot \frac{2}{3}\, x^{\frac{2}{3}-1}.
Calculemos o coeficiente e o novo expoente separadamente: 12\cdot\frac{2}{3}=12\cdot\frac{2}{3}=8. E o expoente \frac{2}{3}-1=\frac{2}{3}-\frac{3}{3}=-\frac{1}{3}. Logo
f'(x)=8 \, x^{-1/3}.

Passo 6

Interpretando o resultado com radical (forma que fica mais familiar): x^{-1/3}=\dfrac{1}{x^{1/3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}. Assim podemos escrever
f'(x)=\frac{8}{\sqrt[3]{x}}.
Observação importante sobre domínio: essa expressão está bem definida para x\neq 0. Na verdade, a função original 12\sqrt[3]{x^{2}} é igual a 12|x|^{2/3}, que tem comportamento pontiagudo em x=0; por isso a derivada não existe em x=0. Para x\neq0 a expressão \dfrac{8}{\sqrt[3]{x}} descreve corretamente a derivada.

Passo 7

Checagem rápida em um ponto fácil, por segurança: para x=1, da fórmula obtemos f'(1)=8\cdot1^{-1/3}=8. Se calcularmos diretamente a partir de f(x)=12\sqrt[3]{x^{2}} e aplicarmos a ideia de variação infinitesimal, obtemos o mesmo valor em x=1. Assim a fórmula parece consistente.

Resposta

f'(x)=-10 x^{4}
f'(x)=8 x^{-1/3}=\dfrac{8}{\sqrt[3]{x}}

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