Exemplo 4: f(x)=2 x-3 \Rightarrow f^{\prime}(x)=

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=2x-3 e pede para encontrar f'(x).
Informações relevantes:
  • A função é f(x)=2x-3.
  • A pergunta é: qual é a derivada f'(x) para essa função?

Passo 2

Vamos lembrar a definição de derivada (essa é a forma mais básica e segura para a prova). A derivada de f em um ponto x é o limite
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde h é um incremento pequeno em x. Esse limite, quando existe, dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x.

Passo 3

Aplicamos essa definição à função f(x)=2x-3. Primeiro calculamos f(x+h). Substituindo x+h na expressão de f temos:
f(x+h)=2(x+h)-3.
Agora desenvolvemos essa expressão:
f(x+h)=2x+2h-3.

Passo 4

Calculamos a diferença f(x+h)-f(x). Já sabemos f(x)=2x-3, então
f(x+h)-f(x)=(2x+2h-3)-(2x-3).
Fazendo as contas (cancela 2x e -3):
f(x+h)-f(x)=2h.

Passo 5

Dividimos por h e tomamos o limite quando h\to 0:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2h}{h}=2 \quad\text{(para }h\neq 0\text{)}.
Agora o limite:
f'(x)=\lim_{h\to 0}2=2.
Ou seja, o quociente já não depende de h, então o limite é simplesmente 2.

Passo 6

Interpretação e regra prática (útil para a prova): a derivada de uma função linear ax+b é constante igual ao coeficiente angular a. Aqui a=2, então f'(x)=2 para todo x. Exemplos rápidos: se g(x)=5x+1 então g'(x)=5; se h(x)=-3x+7 então h'(x)=-3. Isso vem das mesmas contas que fizemos acima, mas é bom decorar essa regra.

Resposta

2

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