Usando a definição, determine a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada usando a definição.
Informações relevantes: a expressão explícita de e a instrução de usar a definição (ou seja, a limite do quociente incremental). Não há outros dados.
Informações relevantes: a expressão explícita de
Passo 2
Escrevemos a definição de derivada e explicamos cada símbolo:
Aqui
é um pequeno incremento em
(pense como "quanto eu somo a
"),
é a função avaliada em
, e o quociente
mede a taxa média de variação de
quando
aumenta de
para
. A derivada é o limite dessa taxa média quando
(ou seja, a taxa instantânea).
Passo 3
Calculemos primeiro
substituindo
por
em
:
Agora expandimos os termos passo a passo. Primeiro
. Então
Passo 4
Formamos a diferença
. Lembrando que
, temos
Agora cancele termos idênticos:
,
e
. Fica
Passo 5
Colocamos essa diferença sobre
para formar o quociente diferencial:
Fatore
no numerador (isso facilita o cancelamento):
Para
podemos cancelar o
:
(A razão pela qual podemos cancelar é que, na definição, estamos interessados no limite quando
, e durante o processo consideramos
diferente de zero para simplificar a expressão.)
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto a derivada de
em termo geral é
.
Passo 7
Interpretação e verificação rápida:
dá a inclinação da reta tangente a
em qualquer ponto
. Exemplo numérico: em
,
, ou seja, a tangente em
tem declive
. Como checagem, se você souber a regra pronta (no exame às vezes é permitido usar), a derivada de
é
, a derivada de
é
e a de constante é
, somando dá
, igual ao que obtivemos pela definição — ótima confirmação.