Usando a definição, determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=x^{2}-4 x+3

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=x^{2}-4x+3\; e pede para determinar a derivada usando a definição.
Informações relevantes: a expressão explícita de f(x) e a instrução de usar a definição (ou seja, a limite do quociente incremental). Não há outros dados.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada e explicamos cada símbolo:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui \;h\; é um pequeno incremento em x (pense como "quanto eu somo a x"), f(x+h) é a função avaliada em x+h, e o quociente \frac{f(x+h)-f(x)}{h} mede a taxa média de variação de f quando x aumenta de x para x+h. A derivada é o limite dessa taxa média quando \;h\to0\; (ou seja, a taxa instantânea).

Passo 3

Calculemos primeiro f(x+h) substituindo x por x+h em \;f:
f(x+h)=(x+h)^{2}-4(x+h)+3.
Agora expandimos os termos passo a passo. Primeiro (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}. Então
f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-4x-4h+3.

Passo 4

Formamos a diferença f(x+h)-f(x). Lembrando que f(x)=x^{2}-4x+3, temos
f(x+h)-f(x)=\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}-4x-4h+3\bigr)-\bigl(x^{2}-4x+3\bigr).
Agora cancele termos idênticos: x^{2}-x^{2}=0, -4x-(-4x)=0 e 3-3=0. Fica
f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-4h.

Passo 5

Colocamos essa diferença sobre h para formar o quociente diferencial:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2xh+h^{2}-4h}{h}.
Fatore h no numerador (isso facilita o cancelamento):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h(2x+h-4)}{h}.
Para h\neq0 podemos cancelar o h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h-4.
(A razão pela qual podemos cancelar é que, na definição, estamos interessados no limite quando \;h\to0\;, e durante o processo consideramos h diferente de zero para simplificar a expressão.)

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h-4)=2x-4.
Portanto a derivada de f em termo geral é \;2x-4\;.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida: \;f'(x)=2x-4\; dá a inclinação da reta tangente a f em qualquer ponto x. Exemplo numérico: em x=3, f'(3)=2\cdot3-4=2, ou seja, a tangente em x=3 tem declive 2. Como checagem, se você souber a regra pronta (no exame às vezes é permitido usar), a derivada de \;x^{2} é \;2x, a derivada de \;-4x é -4 e a de constante é 0, somando dá \;2x-4\;, igual ao que obtivemos pela definição — ótima confirmação.

Resposta

f'(x)=2x-4

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