Dê exemplos de:
Sequência (an) tal que an in(710, 1), forall n in N e an 1.

Passo 1

O problema pede sequências l(anr) tais que para todo ninN vale
710<an<1
e simultaneamente
limntoinftyan=1
Vamos usar a ideia de construir an como 1-varepsilonn ou como uma soma que tende a 1, escolhendo um deslocamento inicial para garantir an>tfrac710.

Passo 2

Exemplo 1: defina
an=1-1n+3
Então, para todo n>=1,
an=1-1n+3 >1-11+3 =1-tfrac14 =tfrac34 >tfrac710,
e claramente an<1. Além disso,
limntoinftyan =limntoinftyl(1-1n+3r) =1

Passo 3

Exemplo 2: defina
an=710+310,nn+1
Note que 0<tfracnn+1<1, logo
710<an <710+310=1
E claramente
limntoinftyan =710+310cdot1 =1

Passo 4

Exemplo 3: defina
an=1-12^,n+2
Então an<1 e
a1=1-12^3=1-tfrac18=tfrac78>tfrac710,
e para n>=1 toda fração tfrac12^,n+2 é ainda menor, garantindo tfrac710<an<1. Além disso,
limntoinftyan =1-limntoinfty12^,n+2 =1

Resposta

Sequências possíveis incluem, por exemplo:
an=1-1n+3, an=710+310,nn+1, an=1-12^,n+2

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